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26 - MPSI 1 Lycée Pierre de Fermat, 2015-2016

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Lycée Pierre de Fermat
MPSI 1
2015/2016
colles
Programme de colle
Numéro de semaine : 26
Semaine du 9/5/2016 au 14/5/2016
Questions de cours :
1. Théorème de Heine.
2. Définition de la norme uniforme d’une fonction continue par morceaux sur [a, b]. Cette borne sup est-elle
atteinte comme dans le cas d’une fonction continue sur [a, b] ?
3. Deux lemmes d’approximation uniforme de fonctions continue / continue par morceaux sur un segment
par une fonction en escalier.
4. Définition de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment : sup I − (f ) = inf I + (f ).
5. Montrer qu’une fonction positive ou nulle, continue sur un segment et d’intégrale nulle sur ce segment est
identiquement nulle sur ce segment.
6. Inégalité de Cauchy-Schwarz et caractérisation du cas d’égalité pour les fonctions continues.
7. Théorème de convergence des sommes de Riemann pour une fonction continue sur un segment (pas le cas
f continue par morceaux).
Z b
Z b
8. |
f (u)du| ≤
|f (u)|du pour f continue par morceaux à valeurs complexes.
a
a
9. Construction de la primitive d’une fonction continue f qui s’annule en un point précis de l’intervalle de
définition de f . Existence et unicité.
x2
10. Formule de Taylor avec reste intégral. Application à la preuve de l’inégalité cos x ≥ 1 −
pour x ∈
2
h π πi
− , .
2 2
X
un : lim u = 0. Montrer que cette condition n’est pas suffisante.
11. Condition nécessaire de convergence de
n≥n0
12. Condition nécessaire et suffisante de convergence de
X
q n pour q ∈ C∗ et calcul de la somme et du reste
n≥0
lorsqu’ils existent.
13. Caractérisation de la convergence des séries de Riemann (cas α = 1 inclus).
Z
X 14. Pour f continue par morceaux sur [n0 , +∞[, positive et décroissante,
f (n) −
n≥n0
n+1
n
f (u)du converge
(avec dessin).
15. L’absolue convergence implique la convergence (fausseté de l’implication réciproque).
Thème de la colle :
Intégration.
1. Continuité uniforme.
2. Intégrale de fonctions en escalier.
3. Intégrale de fonctions continues par morceaux.
4. Propriétés de l’intégrale des fonctions continues par morceaux : linéarité, positivité (monotonie), relation
de Chasles, .
5. Sommes de Riemann.
1
Liens entre intégration et dérivation. Calcul de primitives et application au calcul
d’intégrales.
1. Primitive d’une fonction continue. Théorème fondamental du calcul intégral.
2. Révision des méthodes de calcul d’intégrales : intégration par parties, changement de variables.
3. Formule de Taylor avec reste intégral.
Séries numériques.
1. Définitions. Structure.
2. Séries à termes positifs.
(a) Critère de convergence par domination, par équivalence.
(b) Critère de convergence par comparaison avec une suite d’intégrale.
3. Convergence absolue.
(a) Théorème des séries alternées.
(b) Éclatement du terme général pour étudier la convergence.
Consignes particulières :
Vincent Bayle
Je suis joignable
• par téléphone au 09-50-28-23-28 ou au 06-74-52-23-64,
• par courrier électronique à l’adresse 120bayle2@free.fr,
• par courrier postal, à mon adresse personnelle : 2, Impasse des Bernaches, 31280-DREMIL LAFAGE.
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