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Chapitre 14 : ANGLES INSCRITS - POLYGONES RÉGULIERS
I) ANGLE INSCRIT DANS UN CERCLE
1) Définition et vocabulaire :
Soit un cercle (C) de centre O et A, M et B trois points distincts du cercle.
Un angle est inscrit dans un cercle lorsque son sommet est un point du cercle
et ses deux cotes coupent le cercle
L’angle AMB est un angle inscrit qui intercepte l’arc AB.
L’angle AOB est un angle au centre qui intercepte l’arc AB.
Les angles
et
interceptent le même arc AB.
2) Propriété :
Propriété de l’angle inscrit :
Dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, alors la mesure de l’angle
au centre est égale au double de celle de l’angle inscrit.
Démonstration : On cherche à montrer que :
.
Soit I le point diamétralement opposé au point M.
1ère étape : Montrons que
.

est un angle plat. Donc
Donc :
(I)
 Comme OA=OM (deux rayons de (C) ), alors OMA est isocèle
en O. Donc
.
De plus, dans le triangle OMA, on a :
.
Donc
Donc :
(II)
D’où
. (D’après I et II)
De la même manière, en utilisant le triangle OMB isocèle en O, on
obtient :
.
2ème étape : Concluons que
donc
Exemple :
.
.
Dans le cercle (C), on sait que :



AMB est un angle inscrit.
AOB est un angle au centre.
Ils interceptent le même arc AB.
Donc, on a : AOB = 2  AMB.
Conséquence :
Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils ont la même mesure.
Exemple :
Dans le cercle (C), on sait que AMB et
Donc, on a :
= AMB.
sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc AB.
II) POLYGONES REGULIERS
1) Définitions et propriétés
Définitions : Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés sont de même longueur et tous les angles
de même mesure.
Propriété : Tous les sommets d’un polygone régulier appartiennent à un même cercle.
On dit qu’un polygone régulier est inscrit dans un cercle.
Le centre de ce cercle est appelé centre du polygone régulier.
Exemples : Un triangle équilatéral est un polygone régulier à trois côtés : ses trois
côtés sont de même longueur et ses trois angles valent chacun 60°.
Un carré est un polygone régulier à quatre côtés : ses quatre côtés sont de
même longueur et ses quatre angles valent chacun 90°.Il est inscrit dans un cercle de
centre le centre du carré.
Propriété (admise) : Soit n un nombre entier positif.
On considère un polygone à n côtés de centre 0 ainsi que A et B deux sommets consécutifs de ce polygone.
L’angle
est appelé angle au centre du polygone et sa mesure est égale à
.
Exemples :
2) Construction d’un polygone régulier connaissant son centre et un sommet.
Soit O le centre et A un sommet
On détermine l’angle au centre :
=
360°
n
où
n est le nombre de côtés du polygone
On construit les sommets par rotations successives de centre O et d’angle .
Exemples : Pour un pentagone  =
360°
360°
soit  = 72°. Pour un hexagone  =
soit  = 60°.
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