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CALCUL INT. FEUILLE 4 Pour chaque exercice on calculera une

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CALCUL INT. FEUILLE 4
Pour chaque exercice on calculera une formule exacte pour les primitives des fonctions données,
et on donnera leur domaine de définition.
Exercice 1 Calculer les primitives suivantes :
Z p
Z
Z
x
2
x x + 4dx,
dx,
x exp(−x2 )dx.
(x2 + 1)1/3
Exercice 2 Calculer
Z
Z
Z
Z
Z
Z
dx
x
1
ex
ex dx
1
√
√
√
√
,
,
,
.
,
,
x2 + 16
1 + e2x
(1 + x) x
1−x
1 − x4
16 − e2x
Exercice 3 Calculer
Z
xn ln(x)dx (n ∈ Z)
Z
Z
2
exp(−x)(cos x) dx,
arctan
p
1 − x2 dx.
Exercice 4 Soit a ∈ C et n ∈ Z. Calculer
Z
dx
.
(x − a)n
Exercice 5 En utilisant la décomposition en éléments simples, calculer les primitives :
Z
Z
Z
Z
Z
x3 dx
dx
dx
x2 dx
(x − 1)dx
,
,
,
,
.
2
2
2
4
x +1
x(1 + x)
4x − 3x + 2
x −1
(1 + x)3 (x − 2)
Exercice 6 calcule
Z
Z
Z
Z
dx
(5x − 12)dx
(37 − 11x)dx
(2x2 − 15x + 33)dx
,
,
,
,
49 − 4x2
x(x − 4)
(x + 1)(x − 2)(x − 3)
(x + 1)(x − 5)
Z
Z
(x − 1)dx
dx
,
.
2
2
x +x+1
(x + 4x + 5)2
Exercice 7 Calculer
Z
Z
3
(sin x) dx,
sin x
dx,
(2 + cos x)2
Z
dx
,
a + b cos x
avec a, b ∈ R, a > |b| > 0.
Exercice 8 Calculer
Z
Z
n
(cos θ) dθ,
Exercice 9 Pour n ∈ N, calculer
Z
(sin θ)n dθ.
dx
.
(1 + x2 )n
1
√
2 + bx + c): Par un changement de vaExercice 10 Primitives de fonctions du type f (x, ax√
√
2 + 1), f (x, |x − 1|), f (x, x2 − 1) ou
riables,
se
ramener
a
une
forme
canonique
du
type
f
(x,
x
√
f (x, 1 − x2 ), puis effectuer un autre changement de variables avec les fonctions sinus/cosinus
trigonométriques ou hyperboliques. Calculer
Z
Z p
Z p
Z p
dx
2
2
√
,
x − 3x + 2,
x + x + 1,
−x2 + x + 1.
(1 − x) 1 − x2
Exercice 11 Calculer
Z
√
xdx
,
(x − 1)2
Z
2
√
x xdx
.
(x + 1)2
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