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2 SECONDAIRE Les expériences aléatoires, les résultats et les

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Chapitre 7 – Section manquante
Groupe :______
RETOUR SUR LES PROBABILITÉS – 2E SECONDAIRE
Les expériences aléatoires, les résultats et les événements
– Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du_____________.
– Certaines expériences aléatoires nécessitent plusieurs étapes.
– L’univers des résultats possibles d’une expérience aléatoire est désigné par
la lettre grecque : ____________ (oméga).
– Un événement est un sous-ensemble de Ω.
– Un événement élémentaire est un événement qui comporte un ______ résultat.
Exemples :
Expérience aléatoire
Expérience aléatoire à plusieurs étapes
« Lancer un dé à six faces et noter le résultat »
est une expérience aléatoire.
« Lancer une pièce de monnaie deux fois et
noter le résultat » est une expérience aléatoire à
plusieurs étapes.
_________________est l’ensemble des
résultats possibles (Ω) de cette expérience
aléatoire.
_____________________est l’ensemble des
résultats possibles (Ω) de cette expérience
aléatoire.
{Obtenir un nombre pair} est un événement.
{Obtenir FP} est un événement élémentaire.
Remarque : On peut noter un événement ainsi : A = {Obtenir un nombre pair}.
Le dénombrement des résultats d’une expérience aléatoire à
plusieurs étapes
Il existe plusieurs moyens de dénombrer les résultats possibles d’une expérience aléatoire à
plusieurs étapes. On peut les représenter dans un tableau, à l’aide d’un diagramme en arbre,
les énumérer de façon systématique, etc.
Exemple :
« Lancer deux fois une pièce de monnaie et noter le résultat »
Tableau
er
e
er
2
1
Pile
Énumération
systématique
Diagramme en arbre
Face
1
lancer
e
2
lancer
P
Pile
(P, P) (P, F)
Face
(F, P) (F, F )
F
1
Résultat
P
PP
F
PF
P
FP
F
FF
Ω = {PP,PF,FP,FF}
Le calcul de la probabilité d’un événement à partir d’une stratégie de
dénombrement
On peut également utiliser un tableau, un diagramme en arbre, une énumération
systématique, etc., pour calculer la probabilité d’un événement.
Exemple :
En lançant une pièce de monnaie à deux reprises, calcule :
P(A)=
a) P(Obtenir deux côtés pile) = ___________________
b) P(Obtenir deux côtés différents)=_________________
Les expériences aléatoires avec ou sans remise
Une expérience aléatoire peut être « avec remise » ou « sans remise ».
Exemples :
Expérience aléatoire avec remise
On lance un dé à six faces trois fois.
Cette expérience aléatoire est « avec
remise », car l’ensemble des résultats
possibles demeure le même lors des
trois étapes de l’expérience aléatoire.
Expérience aléatoire sans remise
On tire successivement trois cartes d’un jeu de 52
cartes sans les remettre dans le paquet.
Cette expérience aléatoire est « sans remise », car
le nombre de résultats possibles change à chaque
étape. À la première étape, il y a 52 cartes, à la
deuxième, 51, à la troisième, 50.
L’ordre des résultats d’une expérience aléatoire
à plusieurs étapes
Lorsqu’une expérience aléatoire comporte plusieurs étapes, on peut tenir compte
ou non de l’ordre dans lequel les résultats sont obtenus.
Exemples :
Expérience aléatoire où l’on tient compte de
l’ordre
Expérience aléatoire où l’on ne tient pas
compte de l’ordre
On lance un dé à six faces trois fois.
On lance un dé à six faces trois fois.
On s’intéresse à l’événement :
On s’intéresse à l’événement :
A = {Le dernier nombre obtenu est plus
grand que le premier}.
B = {Obtenir un total de 13}.
2
7.5 ARRANGEMENT, PERMUTATION ET COMBINAISON
Arrangement
Un arrangement d'un ensemble de n éléments correspond à une disposition ordonnée d'un certain
nombre d'éléments de cet ensemble. Deux arrangements se distinguent par l'ordre dans lequel les
éléments sont disposés.
Exemple: On choisit au hasard deux nombres dans l'ensemble {1,2,3,4}.
a) Quel est le nombre d'arrangements possibles sans remise?
b) Quel est le nombre d'arrangements possibles avec remise?
Permutation
Une permutation d'un ensemble de n éléments correspond à une disposition ordonnée de n éléments
de cet ensemble. Deux permutations se distinguent par l'ordre dans lequel les n éléments de cet
ensemble sont disposés.
On détermine le nombre de permutations d'un ensemble de n éléments conne suit:
Nombre de permutations = n x (n-1) x (n-2) x ....x 3 x 2 x 1
Exemples:
a) On tire successivement 3 bonbons d'un pot contenant 1 bonbon rouge, 1 bonbon bleu et 1 bonbon
jaune. Quel est le nombre de permutations possibles?
b) Il y a 5 livres à ranger sur une étagère. En combien de façons différentes peut-on le faire?
c) Lors d'un sommet diplomatique tenu en Amérique de Nord, cinq Américains, quatre Canadiens et
trois Mexicains doivent s'asseoir sur 12 chaises alignées. De combien de façons différentes
peuvent-ils s'asseoir si les personnes de même nationalité doivent s'asseoir les unes à côtés des
autres ? (En ne tenant pas compte de qui est assis à côté de qui pour un même pays)
d) Si ces mêmes personnes peuvent se mélanger?
3
Combinaison
Une combinaison d'un ensemble de n éléments correspond à une disposition non
certain nombre d'éléments de cet ensemble.
ordonné d'un
On détermine le nombre de combinaisons possibles d'une expérience aléatoire sans remise comme
suit:
Nombre de combinaisons possibles =
Exemples:
a) On forme au hasard des mots de 3 lettres sans remise à l'aide des lettres A, B, C et D.
Quel est le nombre de combinaisons possibles?
b) Donald propose a ses invités un choix de 5 condiments pour garnir leur hamburger: ketchup,
mayonnaise, moutarde, sauce piquante et sauce du chef.
Quels sont les combinaisons possibles si l'une des invités ne choisit que 4 condiments.
4
EXERCICES
1. Combien y-a-t-il de façons de composer un menu constitué d'une entrée, d'un plat principal et
d'un dessert, si on a 2 choix d'entrées, 4 choix de plats principaux et de 3 choix de desserts?
2. Huit nageurs participent à la finale du 100 mètres nage libre. Combien y a-t-il de façons
d'attribuer les médailles d'or, d'argent et de bronze?
3. Au Québec, normalement, les plaques d'immatriculation pour les voitures sont composées de 3
lettres majuscules suivies de 3 chiffres qui peuvent se répéter.
Quel est le nombre de plaques différentes possibles?
4. On tire au hasard 7 cartes d'un jeu de 52 cartes. Détermine le nombre de résultats possibles
pour chacun des cas suivants.
On tire les 7 cartes ....
avec remise
sans remise
Avec ordre
5. Une danseuse doit effectuer trois mouvements de cha-cha-cha:
1) un New-York (NY);
2) un tour sous bras (TSB);
3) un pas de base (PDB).
a) Écris toutes les permutations possibles de ces trois mouvements.
(Elle ne peut faire 2 fois le même mouvement.)
b) Combien de possibilité s'offrent à cette danseuse si l'on tient compte de l'ordre dans lequel
les trois pas seront exécutés et si elle peut effectuer le même mouvement plus d'une fois?
5
6. Daphné ramasse les feuilles sur son terrain. Elle remarque que 40% des feuilles proviennent
d'un érable, 30% d'un bouleau, 20% d'un pommier, et le reste, d'un chêne. Elle choisit une
feuille au hasard sur le terrain, la remet par terre, puis en choisit une autre au hasard.
a) Détermine la probabilité qu'elle choisisse une feuille d'érable suivie d'une feuille de chêne.
b) De combien de façons différentes Daphné peut-elle choisir trois sortes de feuilles parmi les
quatre sortes disponibles sur le terrain?
7. Dans un tournoi de volleyball, chacun des 8 membres de l'équipe gagnante reçoit un ballon de
volleyball d'une couleur différente. Sachant que les membres de l'équipe se partagent les
ballons de façon aléatoire, détermine le nombre de façons dont ils peuvent se partager les prix.
8. Trois couples de personnes s'assoient autour d'une table rectangulaire.
a) Combien y a-t-il de permutations possibles?
b) Combien y a-t-il de façons de placer ces personnes si les membres
d'un même couple s'assoient l'un en face de l'autre?
9. Bébé Félix a 6 jouets pour le bain: un éléphant, un canard, une baleine, un bateau, un crocodile
et un sous-marin. S'il choisit 3 jouets au hasard, quelles sont les probabilités qu'il ne choisisse
pas le canard?
10. Pour se faire pardonner un oubli, un dieu grec offrit un bouquet de fleurs à une déesse. Il choisit
3 variétés de roses parmi les 9 variétés à sa disposition.
Combien de bouquets différents ce dieu aurait-il pu offrir à la déesse?
6
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