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A.P Seconde
Soutien maths en vue d’une 1S
Année 2015/2016
1.
Séance 3
Fonctions affines
Par lecture graphique, déterminer l’expression des fonctions affines f1 et f2 associées aux
droites D1 et D2 :
f1(x) =
f2(x) =
2. Paramètres statistiques
Exercice 1 :
Pour sélectionner un groupe de candidats à un jeu télévisé, on leur soumet une liste de questions. Voici les
résultats consignés dans le tableau ciRéponses justes
4
5
6
7
8
9
10
dessous :
Nombre de candidats
2
6
8
5
6
4
1
Déterminez la moyenne et la médiane de cette série. (à détailler sur la copie)
Exercice 2 :
Une machine fabrique des fers cylindriques pour le béton armé. On contrôle le fonctionnement de la machine en
prélevant un échantillon de 100 pièces au hasard.
La mesure de leurs diamètres, à 0,1 mm près, a donné :
Diamètres
Effectifs
24,3
24,4
24,5
24,6
24,7
24,8
24,9
25
25,1
25,2
25,3
25,4
25,5
25,6
25,7
2
4
8
7
13
16
11
8
6
9
5
4
4
2
1
1. En utilisant une calculatrice, donnez en complétant le
tableau ci-contre la moyenne x , la médiane, le premier
x
Me
quartile Q1 et le troisième quartile Q3 de cet échantillon.
2. On estime que la machine fonctionne correctement si :



Q3 ‒Q1 est inférieur à 2% de la moyenne
l’écart entre la moyenne et la médiane est inférieur à 0,1
au moins 90% des diamètres sont dans l’intervalle [ x ‒ 0,5 ; x + 0,5].
Les critères donnés ci-dessus sont-ils vérifiés ? Justifiez votre réponse.
Peut-on alors considérer que cette machine fonctionne correctement ?
Q1
Q3
3. Equations- Inéquations
Il est demandé de résoudre cette équation dans IR :
(4x + 1)2 = (x‒ 5)2
Voici la copie d’André
4x + 1 = x ‒ 5
3x = ‒ 6
x=‒2
Voici la copie de Catherine
(4x+ 1)2 ‒ (x ‒ 5)2 = 0
[(4x + 1) + (x ‒ 5)][(4x + 1) ‒ (x ‒ 5)] = 0
(5x ‒ 4)(3x + 6) = 0
x
−∞
4
5
‒2
Signe de
5x ‒ 4
─
Signe de
3x + 6
─
0
+
Signe de
(5x ‒ 4)(3x + 6)
+
0
─
─
0
+∞
+
+
0
+
Analysez les « copies » ci-dessus.
Dans chaque cas, précisez si le raisonnement correspond ou non à la question posée et expliquez pourquoi.
Si un des raisonnements convient, terminez-le en donnant l’ensemble des solutions, sinon faîtes le raisonnement
qui convient et donnez l’ensemble des solutions.
4. Mathématisation
Une ficelle longue de 89 cm est fixée à ses extrémités par deux clous A et B distants de 65 cm.
Est-il possible de tendre la ficelle de manière à ce que le triangle ABC soit rectangle en C? Etablir une
conjecture
A.P Seconde
Eléments de correction
Soutien maths en vue d’une 1S
Année 2015/2016
1.
Séance 3
Fonctions affines
Par lecture graphique, déterminer l’expression des fonctions affines f1 et f2 associées aux
droites D1 et D2 :
f1(x) = 2 x + 3
1
f2(x) = ‒ x + 4
3
2. Paramètres statistiques
Exercice 1 :
Pour sélectionner un groupe de candidats à un jeu télévisé, on leur soumet une liste de questions. Voici
les résultats
Réponses justes
Nombre de candidats
Effectifs cumulés croissants
4
2
2
5
6
8
6
8
16
7
5
21
8
6
27
9
4
31
10
1
32
Déterminer la moyenne et la médiane de cette série.(à détailler sur copie)
La moyenne :
=
=
= 6, 71875
Pour calculer la médiane :
N = 32 donc N est pair
= = 16 donc la médiane est la moyenne entre la 16ème et la 17ème valeur de
la série rangée par ordre croissant.
ainsi Me =
= 6,5
Exercice 2 :
Une machine fabrique des fers cylindriques pour le b »ton armé. On contrôle le fonctionnement de la
machine en prélevant un échantillon de 100 pièces au hasard.
La mesure de leurs diamètres, à 0,1 mm près, a donné :
Diamètres
Effectifs
24,3
24,4
24,5
24,6
24,7
24,8
24,9
25
25,1
25,2
25,3
25,4
25,5
25,6
25,7
2
4
8
7
13
16
11
8
6
9
5
4
4
2
1
1. En utilisant une calculatrice, donnez en
complétant le tableau ci-contre la moyenne x , la
médiane, le premier quartile Q1 et le troisième
x
Me
Q1
Q3
24,906
24,85
24,7
25,1
quartile Q3 de cet échantillon.
2. Les critères donnés sont-ils vérifiés ? Justifiez votre réponse

Q3 ‒Q1 est inférieur à 2% de la moyenne

L’écart entre la moyenne et la médiane est inférieur à 0,1

Au moins 90% des diamètres sont dans l’intervalle [ x ‒ 0,5 ; x + 0,5]
 Q3 ‒Q1 est-il inférieur à 2% de la moyenne ?
Q3 ‒Q1 = 25,1- 24,7 = 0,4
or 2% de la moyenne est égal à :
× 24, 906 c’est-à-dire 0, 49 812
0,4 < 0, 49 812 donc ce premier critère est vérifié.
 L’écart entre la moyenne et la médiane est inférieur à 0,1 car
 Y-a-t-il au moins 90% des diamètres qui sont dans l’intervalle [
- Me = 0,056
‒ 0,5 ;
+
0,5] ?
‒ 0,5 = 24,906 ‒ 0,5 =
et ,
+ 0,5 = 24,906 + 0,5 =
donc on cherche le nombre de fers dont le diamètre appartient à [
]
Or il y a 13 pièces qui ne sont pas dans cet intervalle (voir les effectifs
correspondants aux diamètres égaux à 24,3 ou 24,4 ou 25,5 o 25,6 ou 25,7)
soit 13% des valeurs. Il n’y a donc que 87% des diamètres qui sont dans
l’intervalle.
. Peut-on alors considérer que cette machine fonctionne correctement ?
Non car le dernier critère n’est pas vérifié.
;
3. Equations- Inéquations
Il est demandé de résoudre cette équation dans IR :
(4x+ 1)2 = (x‒ 5)2
Voici la copie d’André
4x + 1 = x ‒ 5
3x = ‒ 6
x=‒2
Voici la copie de Catherine
(4x+ 1)2 ‒ (x ‒ 5)2 = 0
[(4x + 1) + (x ‒ 5)][(4x + 1) ‒ (x ‒ 5)] = 0
(5x ‒ 4)(3x + 6) = 0
−∞
x
4
5
‒2
Signe de
5x ‒ 4
─
Signe de
3x + 6
─
0
+
Signe de
(5x ‒ 4)(3x + 6)
+
0
─
─
0
+∞
+
+
0
+
Analysez les « copies » ci-dessus.
Dans chaque cas, précisez si le raisonnement correspond ou non à la question posée et expliquez pourquoi.
Si un des raisonnements convient, terminez-le en donnant l’ensemble des solutions, sinon faîtes le raisonnement
qui convient et donnez l’ensemble des solutions.
Le raisonnement d’André est faux : on ne peut pas supprimer des carrés (par exemple, résoudre
x²=3² ne revient pas à dire que x= 3, la valeur x=−3 étant aussi solution)
Le raisonnement de Catherine ne convient pas non plus, elle fait un tableau de signes, ce qui sert à
résoudre une inéquation, et pas une équation.
En prenant le début du raisonnement de Catherine, on a :
(5x ‒ 4)(3x + 6) = 0
C'est-à-dire (5x ‒ 4) = 0 ou (3x + 6) = 0
Soit 5x = 4 ou 3x = −6
D’où : x = 4 ou x = ‒ 2
5
Ainsi S = {‒ 2 ;
4
}
5
4. Mathématisation
Pour que le triangle ABC soit rectangle en C, il
faut que le point C soit sur le cercle de diamètre
[AB].
Pour cela, on pose x = AC.
a) Exprimer l’équation (E) relative au
problème.
La longueur de la ficelle est de 89 cm donc
BC = 89 – AC = 89 – x.
Dans le triangle ABC rectangle en C, d’après le théorème de Pythagore :
L’équation
est l’équation (E) relative au problème.
Visualiser avec la calculatrice deux courbes afin de résoudre graphiquement cette équation.
On trace les courbes représentatives respectives des fonctions : f et g, telles que :
f (x) =
et g (x) = 4225
Fenêtre d’affichage : Xmin = 0 ;
Xmax : 65
puis zoom auto
On utilise ensuite le solveur graphique :
x1 = 33
G-SOLV ; ISCT
et
Les solutions de (E) semblent donc être x1 = 33 et x2 = 56.
x2 = 56
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