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AP_2nde_soutien_vers1S_seance2_corrige

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A.P Seconde
Eléments de correction
Soutien maths en vue d’une 1S
Année 2015/2016
Séance 2
1. Fonctions
Exercice 1 :
Soient deux fonctions f et g représentées ci- dessous dans un repère orthogonal
a) Donner l’ensemble de définition de f : [ ‒ 3 ; 7]
x
b) Dresser le tableau de variation de f
‒3
x1
4
f(x1)
Variation
de f
‒4
‒7
avec x1 ≈ 0,75 et f(x1) ≈ 6,1
c) Résoudre graphiquement f(x) = 2
S = {x2 ; x3 ; x4 }
avec :
x2 ≈ ‒ 1,8 ; x3 ≈ 1,9 ; x3 ≈ 6,1
d) Résoudre graphiquement f(x) = g(x)
Ch
S = {0 ; 2 ; 5}
e) Résoudre graphiquement f(x) < g(x)
f) Donner l’expression de g(x) en fonction de x
S = [ ‒ 3 ; 0[ ⋃ ] 2 ; 5[
g(x) = -2 x + 5
3
g) Représenter dans ce repère la fonction affine h définie par h(x) = x – 6
4
0
4
x
–6
–3
h(x)
7
11
Exercice 2 : Second degré : comprendre et mathématiser les questions posées
On observe, dans le repère (O ; I , J), le parcours d’un javelot avant de toucher le sol. La hauteur f (x) de ce
dernier (en mètre, par rapport au sol) en fonction de l’abscisse (en mètre) est donnée par :
1
4
9
f (x) = –
x² + x+ .
980
49 5
Le parcours du javelot est représenté sur le schéma ci-dessous.
O
1. Calculer à quelle hauteur le javelot commence sa course.
1
4
9 9
0² + 0 + = = 1,8
980
49
5 5
Le javelot commence sa course à 1,8 mètres de hauteur.
f(0) = –
2. a)Calculer à quelle distance de son point de départ le javelot atteint son point le plus
haut.
f est fonction polynôme du second degré dont l’expression est donnée sous forme
développée : f (x) = –
1
4
9
x² + x+ .
980
49 5
Pour trouver l’abscisse α du sommet de la parabole, il faut d’abord résoudre
f (x) = c puis faire la demi somme des deux solutions trouvées.
1
4
9 9
f (x) = c⇔ –
x² + x + =
980
49
5 5
1
4
⇔ –
x² + x= 0
980
49
1
4
⇔ x–
x +  = 0
49
 980
1
4
⇔ x = 0 ou –
x+
=0
980
49
1
4
⇔ x = 0 ou
x=
980 49
4
49
⇔ x = 0 ou x =
1
980
4 980
⇔ x = 0 ou x = 
49 1
0 + 80
⇔ x = 0 ou x = 80
donc α =
= 40
2
Le javelot atteint son point le plus haut à 40 mètres de son point de départ.
b) En déduire sa hauteur maximale. Vous donnerez la valeur exacte puis arrondie au
millimètre.
1
4
9 841
40² +  40 + =
 3,433
980
49
5 245
La hauteur maximale du javelot est de3,433 mètres.
β =f (α) = f (40) = –
c) Déduire, des deux questions précédentes, la forme canonique de f (x).
f (x) = a (x – α)² + β
donc f (x) = –
3. a)Vérifier que, pour tout x, on a : f (x) = –
–
1
841
(x – 40)² +
980
245
1
(x – 98)(x + 18).
980
1
1
(x – 98)(x + 18) = –
(x² + 18x – 98x – 1764)
980
980
1
=–
(x² – 80x – 1764)
980
1
1
1
=–
x² +
 80x +
 1764
980
980
980
1
4
9
=–
x² + x +
980
49 5
= f (x)
b) En déduire la longueur du lancer.
f (x) = 0 ⇔ –
1
(x – 98)(x + 18) = 0
980
⇔ x – 98 = 0
ou
x + 18 = 0
⇔ x= 98
ou
x = – 18
Or x ≥ 0 donc x = 98
La longueur du lancer est de 98 mètres.
Problème à mathématiser :
On considère un carré ABCD de côté 4 cm.
Soient un point M libre sur [CD] et un point N libre sur [ BC]
tel que CM = CN.
Conjecturer les positions du point M pour lesquelles l’aire du
triangle AMN est strictement supérieure à 1,5 fois l’aire du
triangle AMD.
Voir calculatrice
Enoncé à représenter :
Pour aller en train de St Omer à Paris, un voyageur prend un TER de St Omer à Lille puis un TGV pour
Paris.
La distance St Omer Lille est de 60 km et la distance LilleParis est de 220 km.
le TER roule à une vitesse moyenne de 80 km/h et le TGV roule à une vitesse moyenne de 200km/h.
On néglige les temps d’arrêt et de changement de train.
Représenter graphiquement, dans le repère ci-dessous, la distance (en km) en fonction du temps (en
heure).Noter sur le graphique le temps total du parcours.
2. Probabilités
Exercice 1 :
Dans un jeu de 32 cartes, on pioche une carte que l’on ne remet pas dans le jeu, puis une deuxième
carte. On cherche la probabilité de l’événement C : « tirer deux cœur ».
Faire un arbre pondéré, puis en déduire P(C).
Exercice 2 :
A l’entrée d’un parc d’attraction, on peut acheter son billet soit à un guichet, soit à une caisse
automatique.
Dans les deux cas, on peut payer soit par carte bancaire, soit en espèces.
Carte bancaire
Espèces
TOTAL
Guichet
8
152
160
Caisse Automatique
30
10
40
TOTAL
38
162
200
Chaque jour, il y a un gagnant en choisissant au hasard un client afin de lui rembourser son billet.
a) Compléter le tableau ci-dessus.
38
b) Calculer la probabilité pour que le gagnant ait payé par carte bancaire : 200
8
c) Calculer la probabilité pour que le gagnant ait payé au guichet avec sa carte bancaire :200
d) Le gagnant a choisi de payer avec sa carte bancaire. Quelle est la probabilité qu’il paye à la
30
caisse automatique ? 38
152
e) Quelle est la probailité qu’il paye en espèces sachant qu’il a payé au guichet ? 160
Exercice 3 :
Une industrie coréenne produit des smartphones pour le marché européen. Les contrôles effectués en
fin de production font apparaitre que 5% des smartphones ont un défaut à l’écran tactile, 3% ont un
défaut à la batterie, et 1% ont les deux défauts
Un smartphone produit par l’entreprise est pris au hasard.
On note A l’événement « le mobile a un défaut à l’écran », et B l’événement « le mobile a un défaut
à la batterie ».
E(1)
0,04
A(0,05)
0,01
0,02
0,93
1) Donner la probabilité de l’événement A, de celle de l’événement B et p(A∩B).
P(A) = 0,05
P(B) = 0,03
p(A∩B) = 0,01
2) Décrire l’événement A∪B, puis donner sa probabilité.
A ⋃ B : “avoir un défaut d’écran ou un défaut de batterie”
p (A ⋃ B ) = p (A) + p (B ) ‒ p (A ⋂ B) = 0,05 + 0,03 ‒ 0,01 = 0,07
3) Quelle est la probabilité que le smartphone soit sans défaut ?
p( ⋂
)= p(
) = 1 ‒ p ( A⋃B) = 1 ‒ 0,07 = 0,93
B(0,03)
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