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2015_2016_Eva3_corrige_2ndes

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2nde
Eléments de correction de l’évaluation n°3 du17/05/2016
Durée : 3h
Première partie : sans calculatrice. (1 heure)
Le barème de cette partie est donné sur 15
Pour toute cette partie, vous compléterez directement sur la feuille.
Savoir et savoir-faire :
1. Dans le repère ci-dessous, tracer la représentation graphique des fonctions f, g et h, définies par :
f(x) =
1
x
g(x) = x2
h(x) = 4 ‒ 2x
2. Soit une fonction f dont la représentation graphique dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.
Par lecture graphique,
a) donner l’ensemble de définition de f :
[‒ 4 ; 8]
b) donner l’image de 2 par f : ‒ 3
c) donner f(3) : 0
d) donner le(s) antécédent(s) de 2 par f :
‒ 2 ; 4 et 7
e) résoudre f(x) ≤ ‒ 3
S = [0 ; 2]
f) donner le minimum de f sur son
ensemble de définition :
‒4
g) donner le tableau de variation de f
y
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
Cf
-4
h) donner le tableau de signes de f
4
5
6
7
8
x
y
3. Sur le graphique précédent, on a tracé une
3
droite qui représente une fonction affine
notée g.
Résoudre graphiquement :
a) f(x) = g(x)
2
1
-4
-3
-2
-1
S = { 0 ; 3 ; 6}
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
b) f(x) > g(x)
Cf
-3
S = [‒ 4 ; 0[ ⋃ ]3 ;6[
Cg
-4
4. Dans le repère ci-contre, on a représenté deux fonctions affines
f et g.
Donner, par lecture graphique, l’expression de f(x) et g(x) en
fonction de x.
2
x+1
3
5
g(x) = ‒ x + 4
2
f(x) =
7x + 3
2‒x
5. a) Faire le tableau de signes de
Signe de
7x
+ 3 = mx+p
avec m = 7
7x
7x
+3=0
2 – x = mx+p
7x
=‒3
avec m= – 1
m>0
x=‒
x
Signe de 7 x
3
7
b) Résoudre alors, dans IR,
x=2
‒
3
7
0
+
7x + 3
2‒x
‒
7x + 3
≥0
2‒x
–x=‒2
valeur interdite
‒
+3
2 – x= 0
m<0
‒∞
Signe de 2 – x
Signe de
Signe de 2 – x
+3
0
S = [‒
3
; 2[
7
+∞
2
+
+
+
‒
+
‒
x
6. Un quotidien d’informations s’est intéressé aux tranches d’âge de ses abonnés.
Voici des résultats obtenus suite à une enquête :
Moins de 20 ans
J
Entre 20 et 40 ans Plus de 40 ans
A
M
Total
Préférer la version papier P
183
318
162
663
Préférer la version en ligne
96
175
66
337
Total
279
493
228
1000
On a noté les événements : J « avoir moins de 20 ans »
M : « avoir entre 20 et 40 ans »
A : « avoir plus de 40 ans »
P : « préférer la version papier »
a) Donner p ( M) :
493
= 0,493
1000
b) Donner la probabilité d’avoir moins de 20 ans et de choisir la version en ligne
(on commencera par écrire mathématiquement la question posée) : p (J ⋂
)=
c) Donner la probabilité d’avoir plus de 40ans ou de choisir la version papier :
(on commencera par écrire mathématiquement la question posée) :
162 + 66 + 183 + 318
729
=
= = 0,729
1000
1000
228
663
162
729
ou p ( A ⋃ P) =
+
–
=
= 0,729
1000
1000
1000 1000
p(A ⋃ P) =
d) On a interrogé une personne qui a entre 20 et 40 ans.
Quelle est la probabilité que cette personne ait choisi la version en ligne ?
175
493
96
= 0,096
1000
QCM : ( ……….. points : 0.5 point par bonne réponse, aucun point n’est enlevé par mauvaise réponse.)
Pour chaque ligne du tableau suivant, des réponses sont proposées.
Une seule est exacte : notez-la dans la colonne de droite
1. Si  3 < x < 1 alors :
2. Si x ∈ [
5
; 2] alors :
3
a) 0 ≤ x² < 9
a)
b) 1 < x² < 9
1
3 1
∈[ ; ]
x
5 2
b)
1
5
∈ [ ;  2 ]
x
3
c) 0 ≤ x² < 1
a
1
1 3
∈ [ ; ]
x
2 5
c
c) (x  41)(x + 31)
b
c)
3. L'expression factorisée de
a) (x  11)(x  1)
(x  5)2  36 est égale à :
b) (x  11)(x + 1)
4. L’équation
3
a) S = {1 ;‒ }
4 (x ‒ 1) (3 + 8x) = 0
8
a pour ensemble solution :
3
8
b) S = {1 ; 0 ; ‒ } c) S = {1 ; ‒ }
8
3
a
b) 6x2  8
c
5. L'expression développée
1 2 19
de 6 x +  
est
2
2

égale à :
a) 36x2 + 36x 
1
2
c) 6x2 + 6x  8
6. Le tableau de variations d’une fonction f définie sur [ 7 ; 10] est le suivant :
Si a et b sont deux réels de
l’intervalle [ 3 ; 5] tels que a) f (a) < f (b)
a < b, on a alors :
L’inéquation f(x) ≥ 0 a pour
ensemble solution :
b) f (a) > f (b)
a) S = [‒ 7;2]⋂[7 ; 10] b) S = [2 ;7]
c) on ne peut pas
les comparer
b
c) S = [‒ 7;2] ⋃ [7;10]
c
7. Sur la figure ci-contre, ABCDEFGH est un pavé droit.
I, J et M sont respectivement les milieux des
segments [DH], [CG] et [DC].
L ∈ [AB] et K ∈ [BC].
Les droites (LK) et (EF)
sont :
a) sécantes
b) non coplanaires c) parallèles
b
Les droites (MJ) et (AF)
sont :
a) sécantes
b) non coplanaires c) parallèles
c
Les droites (JK) et (GF)
sont :
a) sécantes
b) non coplanaires c) parallèles
a
2nde
Eléments de correction de l’évaluation n°3 du17/05/2016
Durée : 3h
Seconde partie : avec calculatrice. (2 heures)
Le barème de cette partie est donné sur 25
Probabilités - Statistiques
Pour le baptême de son filleul, Sophie a mis des dragées dans une boîte. Les unes contiennent une
amande, les autres contiennent du chocolat.
On sait que :
 30% des dragées contiennent une amande
 40% des dragées avec amande sont bleues, les autres sont roses
 75% des dragées sans amande sont bleues, les autres sont roses.
Sophie choisit au hasard une dragée dans la boîte. On admet que toutes les dragées ont la même
probabilité d’être choisies.
On considère les événements :
A : « la dragée choisie contient une amande »
B : « la dragée choisie est bleue ».
Partie A :
1) Réaliser un arbre pondéré traduisant l’énoncé.
0,4
0,3
A
B
(0,6)
0,75
B
(0,7)
(0,25)
2) Décrire l’événement A∩B et calculer sa probabilité.
A∩B : « la dragée choisie contient une amande et est bleue »
P(A∩B)= 0,3  0,4 = 0,12
3) Montrer que la probabilité de l’événement B est égale à 0,645.
P(B)= 0,3  0,4 + 0,7 0,75 = 0,12 + 0,525 = 0,645
4) En vous servant des questions précédentes, déterminer p(A∪B).
P(A∪B)= p(A) + p(B) ‒ P(A∩B)= 0,3+ 0,645 ‒ 0,12 = 0,825
Partie B :
La boîte de dragées contient 64,5% de dragées bleues. Sophie prend 50 dragées dans celle-ci pour les
mettre dans un pochon. Elle constate qu’il y en a 34 bleues.
Peut-on penser qu’elle les a choisies au hasard ? (on argumentera la réponse)
On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.
Conditions : p= 0,645 d’où 0,2 ≤ p ≤ 0,8
n = 50 et donc n ≥ 25
On peut donc déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% : I =[ p Intervalle de fluctuation au seuil de 95%
1
1
Or,
p= 0,645 –
≈ 0,504
n
50
1
1
;p+
]
n
n
p+
1
= 0,645 +
n
Fréquence :
f=
1
≈ 0,786 ( par défaut = arrondi)
50
I = [0,504; 0,786]
34
= 0,68
50
Conclusion :
f ∈ I (Cette fréquence appartient à l’intervalle de fluctuation au seuil de 95%).
On peut donc dire que le hasard seul ne peut pas expliquer l’écart entre p et f.
On en déduit que Sophie a bien chois au hasard les dragées.
Géométrie analytique
Vous compléterez la figure sur cette feuille
 
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; i , j ), on considère les points :
A (– 4 ; 3),
B (11 ; – 2),
C (– 4 ; – 2),
1) a) Lire graphiquement la longueur AC.
D (5 ; – 5) et
E (8 ; – 1).
AC = 5
b) Calculer la longueur DE.
DE =
(xE – xD)2 + (yE – yD)2 =
DE =
(8 –5)2 + (–1 – (–5))2 =
32 + 42 =
9 + 16
25 = 5
c) Montrer que les droites (AE) et (CD) sont parallèles.
  xE – xA 

AE 
 yE – y A 
  xD – xC 

CD 
 yD – yC 
  8 – (– 4) 

AE 
 –1 –3 
  5 – (– 4) 

CD 
 –5 – (–2) 
  12 

AE 
– 4 
  9 

CD 
– 3 
XY’ =12  (–3) = – 36
X’Y = 9 (– 4)= – 36
donc XY’ = X’Y


On en déduit que les coordonnées des vecteurs AE et CD sont proportionnelles,


donc les vecteurs AE et CD sont colinéaires et par conséquent les droites (AE) et
(CD) sont parallèles.
d) Que peut-on déduire des questions précédentes pour la nature du quadrilatère AEDC ?
(AE) // (CD)
et
AC = DE
donc le quadrilatère AEDC est un trapèze isocèle.
2) Soit y un nombre réel. On appelle F le point de coordonnées (−1, y).
a) Déterminer y tel que C, F et D soient alignés.


On sait que C, F et D soient alignés donc les vecteurs CF et CD sont colinéaires et
donc leurs coordonnées sont proportionnelles
  xF – xC 

CF 
 yF – yC 
  – 1 – (– 4) 

CF 
 y – (– 2) 
  xD – xC 

CD 
 yD – yC 
  5 – (– 4) 

CD 
 –5 – (–2) 
 
3 

CF 
 y + 2
  9 

CD 
– 3 
XY’ = X’Y
3  (–3) = 9 (y + 2)
‒ 9 = 9y + 18
‒ 27 = 9y
y=‒3
donc F(‒ 1 ; ‒ 3 )
b) Montrer que le quadrilatère EBFC est un parallélogramme.


Montrons que CF = EB
  xF – xC 

CF 
 yF – yC 
  – 1 – (– 4)


CF 
(‒
3
)
–
(–
2)


  3 

CF 
‒ 1
  xB – xE 

EB 
 yB – yE 
11 – 8
 


EB 
 (‒ 2) – (– 1) 
  3 

EB 
‒ 1


On a donc prouvé que CF = EB donc EBFC est un parallélogramme

3) Soit G le point tel que DG =
3 
1 
BE + CA
2
2
a) Construire le point G (on laissera les traits de construction).
b) Calculer les coordonnées du point G.
  xE – xB 

BE 
 yE – yB 
  xA – xC 

CA 
 y A – yC 
  xG – xD 

DG 
 yG – yD 
8 – 11
 


BE 
 (‒ 1) – (– 2) 
  (‒ 4)– ( ‒ 4) 

CA 
 3 – (– 2) 
xG – 5 
 

DG 
 yG – (‒ 5) 
  ‒ 3 

BE 
 1 
  0 
CA  
 5
  xG – 5 

DG 
 yG + 5 
3 
BE
2
 32 ×(‒ 3) 
 3

×
1
 2

 12 ×0 
1 
 2 × 5
1 
CA
2
3 
BE
2
 ‒29 
 3
 2
0 
1   
CA  5 
2
 2
3 
1 
BE +
CA
2
2
 ‒29+ 0 
 3 5
 2+ 2 
‒ 9
3 
1   2
BE +
CA 
2
2
 4

DG =




3 
1 
BE +
CA ⇔
2
2
⇔
⇔
1
Donc G ( ; ‒ 1)
2
c) Le point G est-il le milieu du segment [AD].
Soit K le milieu de [AD]
)
)
1
1
On a donc K ( ; ‒ 1) et comme G ( ; ‒ 1), on en déduit que K e G sont confondus
2
2
et donc que G est le milieu de [AD]
Algorithmique.
Un représentant de commerce a un salaire mensuel qui dépend du montant des ventes qu’il a réalisées
durant le mois.
Connaissant le montant des ventes en euros, le salaire également exprimé en euros, est déterminé par
l’algorithme ci-dessous :
a, b, c sont des nombres positifs.
Saisir a
Si a  11 000
alors b prend la valeur 0,08  a
sinon b prend la valeur 0,12  a
Fin Si
c prend la valeur b + 1 500
Afficher c
1) Lorsque l’on saisit le nombre 25 000, qu’affiche cet algorithme ?
25 000 > 11 000 donc b prend la valeur 0,12  25 000 c’est-à-dire 3000
et donc c prend la valeur : 3 000 + 1 500
La valeur affichée est donc : 4500
2) Compléter, sans justifier, le texte ci-dessous :
« Chaque mois, le salaire du représentant de commerce est composé de deux parties :
la première est fixe, d’un montant égal à 1500€ et la seconde est variable.
La part variable du salaire de ce représentant équivaut à 12% du montant de ses ventes si
celles-ci dépassent un total mensuel de 11 000€, et à 8% du montant de ses ventes mensuelles
dans le cas contraire ».
3) Au mois de décembre, le représentant de commerce a gagné 3 000 €.
Quel a été le montant de ses ventes ? Justifier votre démarche avec rigueur.
Soit x le montant de ses ventes.

Si x ≤ 11 000, on cherche donc x tel que : 0,08 x + 1500 = 3000
0,08 x = 1500
x=
1500
0,08
x = 18 750
inacceptable car supérieur à 11 000

Si x > 11 000, on cherche donc x tel que : 0,12x + 1500 = 3000
0,12x = 1500
x=
1500
0,12
x = 12 500
acceptable car supérieur à 11 000
Fonctions et mathématisation
Partie A : Etude d’une fonction.
Soit la fonction f définie sur IR par : f(x) = 0, 4 x (3 –
1
x)
2
A l’aide d’un logiciel de calcul formel, nous avons obtenu
différentes expressions de la fonction f.
1) Quelle est la nature de la courbe représentative de f ? Justifier.
1
6
f(x) = ‒ x2 +
x
5
5
f(x) = a x2 + b x + c avec a = ‒
1
6
( a ≠ 0), b =
et c = 0
5
5
f est un polynôme du second degré donc Cf est une parabole.
2) Utiliser la forme la plus adéquate pour déterminer les coordonnées du sommet de la courbe.
1
9
La forme canonique : f(x) = ‒
(x‒ 3)2 +
5
5
9
donc le sommet S de cette parabole est S ( 3 ; )
5
3) Etudier les variations de la fonction f et donner son tableau de variations.
1
f(x) = a x2 + b x + c avec a = ‒ donc a >0
5
donc la fonction est d’abord strictement croissante puis strictement décroissante.
9
De plus S ( 3 ; )
5
‒∞
x
+∞
3
9
5
Variation de f
4) Utiliser la forme la plus adéquate pour dresser le tableau de signes de la fonction f.
La forme factorisée : f(x) = 0, 4 x (3 –
Signe de
0,4x =
mx+p
avec m = 0,4
m>0
1
x)
2
Signe de 3 –
0,4 x
0,4 x =
x=
0
0
0,4
x=0
3–
1
x= mx+p
2
avec m= –
m<0
1
2
1
x
2
1
x= 0
2
3–
–
1
x=‒3
2
x=
‒3
1
–
2
x= 6
‒∞
x
0
‒
Signe de 0,4x
Signe de 3 –
1
x
2
+
Signe de
0, 4 x (3 –
0
‒
1
x)
2
0
+∞
6
+
+
+
0
‒
+
0
‒
Partie B : Mathématisation.
Armoire sous les combles.
Hugo souhaite fabriquer une armoire de profondeur 0,4 m, de hauteur minimale m et de volume
maximal pouvant se loger sous les combles d’une maison.
Il sait que les combles ont les dimensions suivantes : AC = 3m AB = 6m
Sur le schéma, la zone hachurée correspond à la porte de
l’armoire. On sait de plus que l’armoire a une profondeur
de 0,4 m.
On pose x = AM
1) A quel intervalle appartient x ?
x appartient à [ 0 ; 6]
2) Exprimer MN en fonction de x.
Dans le triangle ABC,
 les points B,M et A sont alignés et distincts deux à deux
 les points B,N et C sont alignés et distincts deux à deux
 les droites (MN) et (AC) sont parallèles
on en déduit, d’après le théorème de Thalès , que :
BN
MN
BM
=
=
BC
AC
BA
6‒x
MN
D’où
=
6
3
x
3 ( 6 ‒ x) 6 ‒ x
On a donc : MN =
=
=3‒
2
2
6
3) Montrer que le volume, en m3 ,de l’armoire V (x) s’exprime sous la forme : V (x) =0,4x (3 –
V (x) = 0,4  AM  MN = 0,4x (3 –
1
x).
2
1
x).
2
Partie C : Problème posé.
Déterminer la hauteur nécessaire de cette armoire pour avoir un volume maximal que l’on précisera.
On pourra utiliser un ou des résultats de la partie A.
On remarque que pour tout x de [0 ;6] V(x) = f(x)
Or d’après la partie A :
x
‒∞
3
+∞
9
5
Variation de f
d’où
x
0
3
6
9
5
Variation de V
On en déduit que la hauteur nécessaire de cette armoire pour avoir un volume maximal est
égale à 3m. Dans ce cas, MN = 3 ‒
x
3
= 3 ‒ = 1,5
2
2
La hauteur de cette armoire sera alors de 1,5m, ce qui est bien supérieur à la hauteur
minimale (1m) voulue par Hugo.
Situation concrète
Agnès envisage de repeindre la façade de son hangar.
Ci-dessous, on donne tous les éléments caractéristiques lui permettant d’établir son budget.
1. Quel est le montant minimum à prévoir pour l’achat des pots de peinture ?
Surface à peindre en m2
7,53
6  7,5 +
= 45 + 11,25 = 56,25
2
Nombre de pots de peinture
1 pot de peinture couvre 24m2 donc, comme
56,25
= 2,34375.
24
Il faut donc acheter 3 pots
Coût total :
103,45  3 = 310,35 d’où 310,35 €
2. Agnès achète la peinture et prend aussi le matériel dont elle a besoin pour ses travaux.
Le montant total de la facture est alors de 343,50€.
2
Le magasin lui propose de régler les
de sa facture à l’achat et le reste en trois mensualités
5
identiques.
Quel est le montant de chaque mensualité ?
2
 343,50 = 137,40
5
Il reste donc à payer : 343,5 ‒ 137,2 = 206,10
Et cette somme est à partager en trois mensualités :
206,10
soit 68,7 €
3
2
3
du montant de la facture. Il reste donc
à payer.
5
5
1
Comme c’est en trois mensualités, le montant de chaque mensualité sera de
du montant
5
1
de la facture :
 343,5 = 68,7
5
Chaque mensualité a un montant de 68,7€
Autre méthode : Elle paye les
Bonus
A Lyon le funiculaire monte de Saint Jean à Fourvière à la moyenne de 14 km/h.
A quelle vitesse devrait-il descendre pour que sa moyenne sur l’ensemble du parcours soit 20 km/h ?
d
d
donc t =
v
t
Soit d est la distance en km entre St Jean et Fourvière.
Soit v sa vitesse en km/h sur sa descente. V =
d
14
d
Sur la descente, le temps mis par le funiculaire est :
v
 Sur la montée, le temps mis par le funiculaire est :

d
d
+
14 v
Ce qui donne une vitesse moyenne sur l’ensemble du parcours qui a une
2d
distance égale à « 2d » kms :
d d
+
14 v
Et celle-ci doit être égale à 20
 Donc un temps total sur l’ensemble du parcours égal à :
Il reste à résoudre :
2d
= 20
d d
+
14 v
2
= 20
1 1
+
14 v
2
= 20
v + 14
14v
28v
= 20
v+14
28v = 20 (v + 14)
28 v = 20v + 280
8 v = 280
280
v=
8
v = 35
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