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1 Définition 2 Étude de la fonction e

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S15 - Fonc/usuelles 4
Fonction exponentielle de u
Tale ES
1 Définition
Définition 1.
Remarque.
Soit u une fonction continue, dérivable sur un intervalle I.
La fonction eu définie par x 7→ eu(x) est appelée exponentielle de u.
on dit que f est la composée de u suivie de e
.
Exemple 2
• Si u(x) = −x, la fonction eu est définie sur R par f (x) = e−x .
• Si v(x) = 2x − 1, la fonction ev est définie sur R par g(x) = e2x−1 .
Cg
2
Propriété 3.
1
Le fonction x 7→ eu(x) est strictement positive sur l’intervalle où elle est
définie.
Cf
−2
−1
0
1
2
1
2 Étude de la fonction eu
Propriété 4.
Soit u une fonction définie dérivable sur l’intervalle
I,
′ la fonction x 7→
u(x)
u(x)
e
est continue et dérivable sur I de dérivée e
= u′ (x) eu (x).
.
Cf
2
Exemple 5
2
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = ex −x .
La fonction polynôme u définie par u(x) = x2 − x est continue et dérivable sur R de
2
dérivée u′ (x) = 2x − 1 donc, f est dérivable sur R de dérivée f ′ (x) = (2x − 1) ex −x .
1
−2
Propriété 6.
−1
0
1
2
1
Les fonctions u et eu ont le même sens de variation.
.
u′ eu est du même signe que
u′ puisque eu > 0
Propriété 7.
Soit u une fonction continue et dérivable sur l’intervalle I, une primitive
de la fonction u′ (x) eu(x) est eu(x) .
Exemple 8
Une primitive de la fonction f définie sur R par f (x) = −3 e−3x+2 est F (x) = e−3x+2 .
N.Daval - mathematiques.daval.free.fr
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Lycée Georges Brassens
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