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Algèbre I) Rappels sur les groupes finis

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Algèbre
I) Rappels sur les groupes finis, classification des groupes de petits ordres.
II) Groupe dual, classification des groupes abéliens finis.
III) Transformée de Fourier dans le cadre de groupes abéliens finis.
IV) Représentations de groupes finis sur C.
V) Caractères d’une représentation d’un groupe fini.
VI) Indicateur de Frobenius-Schur
VII) Etude de l’anneaux de polynômes A[X] avec A factoriel.
VIII) Anneaux euclidiens.
Analyse
1) Intégration, convolution,
2) Espaces des fonctions continues,
3) Espaces de Banach,
4) Espaces de Hilbert,
5) Théorème de Hahn-Banach,
6) Opérateurs linéaires,
7) Retour sur les espaces classiques
Géométrie
Théorème de fonctions implicites revisité, espaces tangents.
Sous-variétés de R^n, définitions équivalentes.
Champs de vecteurs et flots.
Extrémas liés, multiplicateurs de Lagrange.
Métrique induite, gradient d’une fonction.
Courbure et torsion
Analyse réelle et complexe
1) Série de Fourier
i) Théorème de Dirichlet et Féjer, ii) Phénomène de Gibbs, iii) Non convergence des séries de Fourier,
iv) Inégalité de Bernstein.
2) Espaces définis par une suite de semi-normes
i) Définition, propriétés, ii) Exemples classique : C^0(R), H(Ω)
3) Transformée de Fourier
i) Transformée de Fourier dans L^1, ii) Espaces de Schwarz S, transformée de Fourier sur S
iii) Théorème de Plancherel, iv) Espace S’, v) Transformée de Fourier sur S’.
4) Analyse Complexe
i) Théorème de Rouché, ii) Principes de maximum (Phragéman-Lindelöf, lemmes des trois droites ou
trois cercles), iii) Suite de fonctions holomorphes (théorème de Montel).
Anneaux et corps commutatifs
1. Théorie de Galois et applications
Extensions de corps, groupe de Galois d'une extension
Extensions algébriques, transcendantes. Clôture algébrique
Extension galoisiennes, théorie de Galois des extensions finies
2. Ensembles algébriques affines et bases de Gröbner
Anneaux de polynômes à plusieurs indéterminées, ensembles algébriques affines, idéaux
Algorithme de division multivarié, ordre monomiaux.
Idéaux monomiaux, théorème de la base de Hilbert, bases de Gröbner, algorithme de Buchberger
Théorème d'élimination, théorème d'extension
Applications : appartenance à un idéal, description d'un idéal, calcul d'intersections et de quotients
d'idéaux, implicitation de représentation paramétrée, calcul de points singuliers, calcul d'enveloppe.
Introduction aux EDP
Les équations aux dérivées partielles (EDP) sont un outil omniprésent en sciences et ingénierie pour
modéliser des phénomènes complexes. Dans ces équations, l'inconnue est une fonction de plusieurs
variables: c'est ce qui distingue es EDP des équations différentielles dites ordinaires (EDO), dont
l'inconnue est une fonction d'une seule variable.
Pour les phénomènes dits d'évolution, comme par exemple la propagation d'un tsunami ou la
prolifération de bactéries, l'une de ces variables est nécessairement le temps, et les autres sont
généralement des variables de position spatiale.
programme:
I) Équations de propagation
i) Cas mono-dimensionnel, ii) Cas multi-dimensionnel
II) Équations de diffusion
i) Équation de chaleur, ii) Équation de réction-diffusion, iii) Équation de Burgers visqueuse
II) Équations dispersives
i) Équation de Schrödinger libre, ii) Équation d’Airy.
Géométrie et topologie
Dans ce cours, on présente une théorie géométrique globale qui montre une interaction avec algèbre.
Voici quelques
thèmes qui seront abordées
1) Groupes fondamentaux et Revêtements, correspondance galoisienne,
2) Homologies et Cohomologies singulières
3) Esquisse de la classification de surfaces
4) Un exemple d’un théorème de type local - global.
Groupes classiques et géométrie
Ce cours présente une collection importante d’exemples de problèmes où la théorie des groupes et la
géométrie sont
en interaction. Voici quelques mots clés :
- Groupes topologiques, actions de groupes et espaces homogènes
- Les groupes linéaires et leurs sous-groupes remarquables
- L’exponentielle de matrices et ses applications
- Etude des isomorphismes exceptionnels entres groupes classiques
- Etude détaillée de quelques exemples d’applications en géométrie affine et en géométrie projective.
Probabilités
Le but de ce cours est d'une part d'approfondir les notions fondamentales de probabilités (formalisme
de Kolmogorov,
théorèmes limites, espérance conditionnelle), d'autre part de commencer l'étude des processus
stochastiques à temps discret (martingales et chaînes de Markov).
Programme :
- Rappels rapides du formalisme des probabilités et des théorèmes-limites (notions de convergence,
loi des grands
nombres, théorème central limite)
- Vecteurs Gaussiens et théorème central limite multidimensionnel
- Processus de branchement (de type Galton-Watson)
- Marches aléatoires dans Z^d
- Espérance conditionnelle. Exemples de lois conditionnelles (Gaussien, lois à densité)
- Chaînes de Markov à espace d’états dénombrable (Perron-Frobenius, mesures invariantes,
convergence vers l’équilibre, recurrence/transience)
- Introduction aux martingales à temps discret (théorèmes de convergence pour les martingales
positives, L^2, théorème(s) d’arrêt)
- Application des martingales (par exemple Galton-Watson, Urnes de Polya, Azuma–Hoeffding ou
fonctions harmoniques)
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