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Chapitre 23 Intégration.

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PCSI 1 - 2015/2016
www.ericreynaud.fr
Chapitre 23
Intégration.
1
2
Points importants
Plan du cours
3
4
5
Questions de cours
Exercices types
Exercices
1
6
7
Exercices corrigés
Devoir maison
Intégration.
Chap 23
Et s’il ne fallait retenir que neuf points ?
1. Savoir comment est construit l’intégrale pour les fonctions continue par morceaux.
On commence par définir l’intégrale pour les fonctions en escaliers comme étant la somme des
aires des rectangles compris entre la courbe et l’axe (Ox) comptées positivement si le rectangle est
au dessus, négativement s’il se trouve en dessous. Pour définir l’intégrale d’une fonction continue
par morceaux, on l’approche par des fonctions en escaliers. Plus précisément, l’intégrale de f est le
sup des intégrales des fonctions en escaliers plus petites que f . Ainsi l’intégrale de f représente
l’aire comprise entre la courbe et l’axe (ox) ; les aires sont là aussi comptées + si elles sont au
dessus de l’axe et - sinon.
2. Retenir les propriétés principales de l’intégrale.
Rb
Rb
Rb
a) La linéarité de l’intégrale, c’est-à-dire : a λ.f + µ.g = λ. a f + µ. a g
Rb
b) La positivité de l’intégrale, c’est-à-dire : f ≥ 0 =⇒ a f ≥ 0
Rb
Rb
c) La croissante de l’intégrale, c’est-à-dire : f ≤ g =⇒ a f ≤ a g
Rc
Rb
Rc
d) La relation de Chasles, c’est-à-dire : a f = a f + b f
R R
b b
e) L’inégalité tringulaire, c’est-à-dire : a f ≤ a |f |
3. Les fonctions positives ayant une intégrale nulle. Il existe des fonctions non nulles positives
qui ont une intégrale nulle, par exemple χ{0} . Par contre, aucune n’est continue. Ainsi on peut
en déduire :

 f ≥0
f continue sur [a, b]
 Rb
a f =0
=⇒
f =0
4. Savoir utiliser les trois outils principaux du calcul des intégrales : la recherche de
primitives, le changement de variable et l’intégration par partie. Entraînez-vous ! ! Et
encore ! ! Encore une fois oui.
5. L’inégalité de la moyenne. C’est-à-dire si f et g sont des fonctions continues par morceaux
sur [a, b] alors :
Z b Z b
f g ≤ kf k∞
|g|
a
a
On notera que kf k∞ = Sup |f (x)| existe car f est bornée puisque f est une application continue
x∈[a,b]
par morceaux sur un segment.
1
6. Cauchy-Schwarz. Si f et g sont des fonctions continues sur [a, b] alors :
s
sZ b
Z b
Z b
f (x)g(x)dx ≤
f 2 (x)dx
g 2 (x)dx
a) a
a
a
b) Il y a égalité si et seulement si f et g sont liés.
7. Sommes de Riemann. Le théorème principal est : "Les sommes de Riemann associées à une
Z b
f (x)dx, lorsque le pas tend vers 0". Deux
application continue par morceaux f tendent vers
a
cas particuliers importants sont à signaler :
a) Si le pas est constant le théorème se traduit par :
n
b−aX
f
n
k=1
b−a
a+k
n
−→
x→+∞
Z
b
f (x)dx
a
b) Si le pas est constant, a = 0 et b = 1 alors le théorème se traduit par
n
1X
f
n
k=1
k
n
−→
x→+∞
Z
1
f (x)dx
0
RX
8. Primitives et intégrales. Si f est une application continue, alors F (X) = a f (x)dx est
l’unique primitive de f s’annulant en a. Les autres primitives sont obtenues en ajoutant une
constante. On en déduit que si h est une primitive de f alors :
Z
a
b
f (x)dx = [h(x)]ba = h(b) − h(a)
9. Calcul approché d’intégrales. Connaître les principales méthodes de calcul approché d’intégrales : méthode des rectangles, méthode des rectangles médians, méthode des trapèzes et méthode de Simpson. Connaître également l’ordre de grandeur des erreurs commises dans chaque
cas.
2
Intégration.
Chap 23
Plan du cours
I. Survol de la construction de l’intégrale de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1/
2/
3/
4/
5/
Subdivision d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Intégrales des fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Fonctions Intégrables, intégrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Le cas des fonctions continues par morceaux.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
Extention de l’intégrales au cas des fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II. Intégrale et primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1/ Le théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2/ Les liens primitives/intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3/ Les fonctions définies par une intégrale ; la variable étant sur les bornes. . . . . 2
III. Inégalités fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1/
2/
3/
4/
intégration et inégalités strictes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Inégalité triangulaire généralisée aux fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Inégalité de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Cauchy-Schwarz / Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
IV. Le calcul d’intégrale en pratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1/ Recherche de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2/ Le changement de variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3/ L’intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
V. Calculs approchés d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1/
2/
3/
4/
5/
Les sommes de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Généralités sur les méthodes numériques d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Méthode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Méthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1
Intégration.
Chap 23
Questions de cours
1.
2.
3.
Rappeler la construction de l’intégrale des fonctions continues par morceaux.
Z cos(x)
1
dt est dérivable sur R. Calculer sa
Montrer que l’application f (x) =
1
+
t4
sin(x)
dérivée.
(I)
Expliquer pourquoi une fonction f continue admet toujours une primitive. Que penser de la réciproque ? Justifiez. Toujours si f est continue, donner la forme des primitives de f . Soit F une primitive de f . A quelle condition peut-on utiliser l’égalité :
(II)
Z
a
(II)
b
f (t)dt = F (b) − F (a)
Vous montrez votre résultat.
4.
5.
Rb
Rb
Montrer que l’implication : f < g =⇒ a f < a g est fausse. Quelle condition
manque-t-il ? Montrer que :
 Rb
 af =0
=⇒ f = 0 sur [a,b]
f ≥0

f continue sur [a, b]
Rappeler les inégalités de Cauchy-Schwarz pour les intégrales. Vous donnerez également un CNS pour avoir égalité dans Cauchy-Schwarz. Montrer que pour tout
application h de C([0, 1], R), on a :
Z
0
1
h ×
Z
1
0
(III)
(III)
1
≥ 1
h
Quand a-t-on égalité ?
6.
Calculer les intégrales suivantes :
I1 =
Z
1
x ln(1 + x)
0
7.
8.
Déterminer lim
(IV)
n→+∞
I2 =
Z
0
n
X
k=0
π
4
dx
cos(x)
I3 =
Z
1
2
ln(x)
dx
x
n
X
k
1
et lim
.
2
n→+∞
n+k
n + k2
(V)
k=0
Rappeler les techniques de base d’intégration numérique : méthode des rectangles,
méthode des trapèzes, méthode de Simpson. Vous donnerez dans chaque cas une
domination de l’erreur commise.
1
(V)
Intégration.
Chap 23
Exercices types
Exercice 1 - intégrales des fonctions paires/impaires.
Montrer à l’aide d’un changement de variable que :
Z a
1. si f est impaire et continue sur [−a, a], alors
f (x)dx = 0 avec a > 0.
−a
Z a
Z a
f (x)dx avec a > 0.
f (x)dx = 2
2. si f est paire et continue sur [−a, a], alors
−a
0
3. si f est périodique de période T et est continue sur R, alors
Z
a+T
f (x)dx =
a
Z
T
f (x)dx.
0
Exercice 2 - Dériver des intégrales.
Considérons l’application de R dans R définie par :
f (x) =
Z
sin2 (x)
0
Z
√
Arcsin( t)dt +
cos2 (x)
√
Arccos( t)dt
0
1. Déterminer le domaine de f .
2. Vérifier que f est π − priodique, paire et que pour tout x de R, on a f (π − x) = f (x). Quelle
symétrie cette égalité implique-t-elle sur la courbe ? Sur quel intervalle allons nous étudier cette
courbe ?
3. Montrer que f est dérivable. Calculer f 0 .
4. Calculer f π4 .
5. Dessiner le graphe de f .
1
Intégration.
Chap 23
Exercices
"Un économiste, c’est celui qui est
toujours capable de dire pourquoi
il s’est trompé la veille."
Bernard Maris.
Vrai - Faux
Exercice 1.
Soit f et g des fonctions continues par morceaux de [a, b] dans R. Déterminer si les propositions
suivantes sont vraies ou fausses :
Z b
Z b
1.
f = Sup
g / g ∈ E([a, b], R) et g ≤ f
a
2. f ≥ 0 ⇐⇒
3.
4.
5.
6.
7.
Z
a
b
f ≥0
Z y Z y
∀x, y ∈ [a, b], f ≤
|f |
x
x
Z b
n
b−a
b−aX
f a+k
=
f (t)dt
n
n
a
k=0
Z x
La fonction g(x) =
f (t)dt est continue.
a
Z x
La fonction g(x) =
f (t)dt est dérivable et g 0 = f .
Z
a
b
fg
2
8. Si f ≥ 0 et
a
≤
Z
Z
a
b
a
b
f
2 Z
a
b
g
2
f = 0 alors f = 0.
a
9. Il existe des fonctions continues sans primitive.
Z 2x
10. Si f est continue, alors la fonction g(x) =
f (t)dt est dérivable et g 0 (x) = f (2x) − f (x).
x
11. Les primitives d’une fonction paire sont paires.
1
Niveau 1
j
k
R
Exercice 2.
Soit f une fonction continue par morceaux de [a, b] dans R telle que
Z b
|f (t)|dt = 0.
Montrer que
Z
b
f (t)2 dt = 0.
a
a
j
k
R
Exercice 3.
Calculer
Z
x2
x
dt
pour x 6= 1, puis en déduire
t. ln t
Z
lim
x→1, x6=1
x2
x
dt
ln t
Exercice 4.
Soit f définie sur R par :
f (x) =
Z
2x
2
e−t dt
x
1. Etudier la parité de f .
2. Déterminer le signe de f (x) suivant les valeurs de x.
3. Montrer que f admet 0 pour limite en +∞ et −∞.
2
4. Montrer que f est dérivable et que f 0 (x) = 2.e−4x − e−x
2
5. Etudier la variation de f . Préciser les points où f admet un extremum.
6. Calculer f 00 (x) et déterminer son signe.
7. Construire Cf (on admettra que le maximum de f est sensiblement égal à 0,3).
j
k
R
Exercice 5.
Etudier la limite des suites
un = n
n
X
k=1
j
k
R
1
2
n + k2
vn =
n
Y
k=1
k2
1+ 2
n
!1/n
wn =
2n
X
1
k
k=n
Exercice 6.
Etudier la limite des suites
un =
n
X
k=1
k
n2
+
k4
n2
vn =
n−1
X
k=0
2
1
n+k
wn =
n
X
k=0
n2
k
+ k2
Exercice 7.
Calculer les intégrales suivantes :
Z 2
1
√ dx
I=
(1
+
x) x
1
Z
0
I =
x
Arcsin(t)dt
0
Niveau 2
j
k
R
Exercice 8.
j
k
R
Exercice 9.
Soit f ∈ C 1 ([a, b], R. Montrer que l’on a :
Z b
(b − a)2
1. f (x)dx ≤ kf 0 k∞
si f (a) = 0
2
a
Z b
(b − a)2
f (x)dx ≤ kf 0 k∞
2. si f (a) = f (b) = 0
4
a
Montrer lim
x→0+
j
k
R
Z
3x
x
Exercice 10.
Soit f ∈ C([0, 1], R). Montrer que
Z 1
lim
xn f (x)dx = 0
n→∞
j
k
R
j
k
R
sin(t)
dt = ln(3).
t2
puis que
lim (n + 1)
n→∞
0
Z
1
xn f (x)dx = f (1)
0
Exercice 11.
Z 1
Soit In =
xn
dx
n
0 1+x
1. Montrer que In tend vers 0 lorsque n tend vers ∞.
ln(2)
2. Montrer que In est équivalent en +∞ à
n
Exercice 12.
Z 1
Soit In =
(ln(1 + t))n dt pour n ∈ N. Déterminer un relation de récurrence sur les In , puis un
0
équivalent de In .
3
Niveau 3
j
k
R
Exercice 13 - Césaro intégrale.
Soit f ∈ Cm (R+ , R) telle que lim f (x) = l, alors lim
x→+∞
j
k
R
x→+∞
1
x
Z
x
f (t)dt = l.
0
Exercice 14.
Soit f ∈ C(R, R) telle que :∀(x, y) ∈ R2 , f (x + y) = f (x) + f (y).
1. Montrer que f est nécessairement dérivable. On pourra considérer
Z
1
f (x + y)dy
0
2. Quelles ont les fonctions continues f telles que f (x + y) = f (x) + f (y) pour tout x et y de R.
j
k
R
Exercice 15.
Soit r ∈] − 1; 1[.
n Y
r2n − 1
kπ
+ r2 =
(r + 1)
1. Etablir :
1 − 2r cos
n
r−1
k=1
Z π
2. En déduire la valeur de I(x) =
ln 1 − 2x cos(θ) + x2 dθ
0
j
k
R
Exercice 16.
Soit f ∈ C([0, 1], R), non nulle.
Z 1
1. Montrer que si
f (t)dt = 0 alors f s’annule au moins une fois sur [0, 1] en changeant de signe.
0
2. Montrer que si
Z
1
f (t)dt =
0
Z
change de signe en ces points.
3. généraliser.
4. Que se passe-t-il si
Z
0
1
1
t.f (t)dt = 0 alors f s’annule au moins deux fois sur [0, 1] et
0
tn f (t)dt = 0 pour tout n de N.
4
Intégration.
Chap 23
Quelques exercices corrigés
j
k
R
Exercice 2.
Soit f une fonction continue par morceaux de [a, b] dans R telle que
Z b
Montrer que
|f (t)|dt = 0.
Z
b
f (t)2 dt = 0.
a
a
--------------------------------------------------------------On utilise Cauchy-Scwartz :
Z
a
j
k
R
b
2 Z b
Z b
2
|f (t)|.1dt ≤
f (t) dt
12 dt = 0
a
a
Exercice 3.
Calculer
Z
x2
x
dt
pour x 6= 1, puis en déduire
t. ln t
lim
x→1, x6=1
Z
x2
x
dt
ln t
---------------------------------------------------------------
1:
Z
x
x2
dt
=
t. ln t
Z
x
x2
1
t
2
ln t
dt = [ln(ln t)]xx = ln(ln x2 ) − ln(ln x) = ln
2 : On considère deux cas. Si x > 1 alors x ≤ t ≤ x2 ce qui donne :
x
Z
x
x2
dt
≤
t. ln t
Z
x2
x
t.dt
≤ x2
t. ln t
Z
x2
x
dt
t. ln t
2. ln x
ln x
= ln 2
(∗)
Le cas où 0 < x < 1, on a x ≥ t ≥ x2 , mais on retombe sur l’équation (∗). L’équation (∗) est donc
vraie pour tout x de R∗+ . On obtient ensuite :
x ln 2 ≤
En passant à la limite on trouve que :
j
k
R
lim
Z
x→1, x6=1
x2
x
Z
t.dt
≤ x2 ln 2
t. ln t
x2
x
Exercice 5.
1
dt
= ln 2
ln t
Etudier la limite des suites
un = n
n
X
k=1
1
n2 + k 2
n
Y
vn =
k=1
k2
1+ 2
n
!1/n
wn =
2n
X
1
k
k=n
--------------------------------------------------------------En manipulant légèrement, on retrouve des sommes de Rieman :
Z 1
n
n
X
1X 1
π
1
1
=
dx = arctan(1) =
un = n
−→
2
2
2
2
k
n +k
n
4
1 + 2 n→+∞ 0 1 + x
ln(vn ) =
n
1X
k2
ln 1 + 2
n
n
k=1
Donc
ln(vn )
−→
n→+∞
Z
−→
n→+∞
ln(2) − 2
Enfin pour (wn ) :
wn =
n
k=1
k=1
Z
0
1
ln(1 + x2 )dx
0
1
x2 + 1
dx −
1 + x2
2n
n
n
X
X
1
1
1X 1
=
=
k
n+k
n
1+
k=n
k=0
k=0
Z
0
k
n
1
=
IP P
1
x ln(1 + x2 ) 0 −
1
dx
1 + x2
n→+∞
1
0
1
0
= ln(2) − 2 +
Z
−→
Z
2x2
dx
1 + x2
π
2
1
dx = ln(2)
1+x
La première égalité étant obtenue par changement d’indexation k 7→ n + k.
j
k
R
Exercice 6.
Etudier la limite des suites
un =
n
X
k=1
k
n2
+
vn =
k4
n2
n−1
X
k=0
1
n+k
wn =
n
X
k=0
k
n2 + k 2
--------------------------------------------------------------En manipulant légèrement, on retrouve une somme de Rieman :
un =
n
X
k=1
n
k
n2 +
k4
n2
1 X nk
=
4
n
1 + k4
k=1
n
−→
n→+∞
Z
0
1
x
dx
1 + x4
On pose u = x2 , donc du = 2xdx et :
Z
1 1 1
1
1
π
un =
du =
[arctan(u)]10 =
arctan(1) =
2
2 0 1+u
2
2
8
Les deux suivantes ont été faites en cours.
j
k
R
Exercice 8.
Soit f ∈ C 1 ([a, b], R. Montrer que l’on a :
2
Z b
(b − a)2
1. f (x)dx ≤ kf 0 k∞
si f (a) = 0
2
a
Z b
(b − a)2
f (x)dx ≤ kf 0 k∞
si f (a) = f (b) = 0
2. 4
a
--------------------------------------------------------------1) L’inégalité des accroissements finis nous donne : |f (x) − f (a)| ≤ kf 0 k∞ (x − a). Comme f (a) = 0,
on a donc :
Z b
Z b
(b − a)2
0
0
f
(x)dx
(x
−
a)dx
=
kf
k
≤
kf
k
∞
∞
2
a
a
2) On coupe en deux en (a + b)/2.
j
k
R
Exercice 9.
Montrer lim
x→0+
Z
3x
x
sin(t)
dt = ln(3).
t2
--------------------------------------------------------------Z
Posons ∆(x) = Z 3x sin(t)
sin(t)
1
= dt
−
ln(3)
−
dt
t2
t2
t
x
x
 sin(t) − t
si x ∈]0; 1]
Posons f (x) =
t2

0
si x = 0
Il est clair que f est continue, notons kf k∞ le maximum de f sur [0; 3]. Imposons 0 < x ≤ 1, alors
[x; 3x] ⊂ [0; 3]. On a alors : ∆(x) ≤ 2xkf k∞ −→ 0
3x
x→0+
j
k
R
Exercice 10.
Soit f ∈ C([0, 1], R). Montrer que
Z 1
lim
xn f (x)dx = 0
n→∞
puis que
lim (n + 1)
n→∞
0
Z
1
xn f (x)dx = f (1)
0
--------------------------------------------------------------1.a) La fonction f est continue sur un segment, donc elle atteint ses bornes. Notons kf k∞ = sup |f (x)|,
on a alors :
x∈[0,1]
Z
0
1.b)
Z
1
n
x f (x)dx ≤ kf k∞ Z
|∆n | = (n + 1)
0
1
1
kf k∞
n
x dx =
n+1
0
Z
x f (x)dx − f (1) = (n + 1)
n
0
1
−→
n→+∞
0
x (f (x) − f (1))dx n
f est continue en 1, donc ∀ε > 0, ∃η > 0, |x − 1| ≤ η, |f (x) − f (1)| ≤ ε/2. Donc :
3
|∆n |
Z
(n + 1)
x (f (x) − f (1))dx 0
Z η
n
x dx
2(n + 1) kf k∞ ≤
≤
η
n
x (f (x) − f (1))dx η
Z
ε 1 n x dx
(n + 1)
2 0
ε
2
+
+
0
2(n + 1) kf k∞ η n+1
≤
Z
(n + 1)
+
1
n
Lorsque n tend vers l’infini, η n+1 tend vers 0. Il existe donc N tel que n > N , 2kf k∞ η n+1 ≤ ε/2, et
donc ∆n ≤ ε
1
f (1)
+ o( )
2) Ordre 1 : D’après la question précédente, ∆n =
n
n
Ordre 2 : Par intégrations par parties successives, on trouve :
Z 1
f (1)
f 0 (1)
1
∆n =
xn+2 f ”(x)dx
−
+
n + 1 (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) 0
Z 1
n2
n2
n+2
De plus x
f ”(x)dx ≤ kf ”k∞
−→ 0. Ainsi,
(n + 1)(n + 2) 0
(n + 1)(n + 2)(n + 3) n→+∞
∆n =
j
k
R
f (1)
n
f (1)
n
f (1)
n
+
+
−
f (1)
f (1)
−
n+1
n
−f (1)
n(n + 1)
f (1) + f 0 (1)
n2
−
f 0 (1)
1
+ o( 2 )
(n + 1)(n + 2)
n
f 0 (1)
1
+ o( 2 )
(n + 1)(n + 2)
n
+
o( n12 )
−
Exercice 11.
Z 1
Soit In =
xn
dx
n
0 1+x
1. Montrer que In tend vers 0 lorsque n tend vers ∞.
ln(2)
2. Montrer que In est équivalent en +∞ à
n
--------------------------------------------------------------1)
Z
1
0
2)
Z
0
Et donc :
1
Z
xn
dx =
1 + xn
1
0
Z
0
1
Z 1 1
xn ≤ xn ≤
−→ 0
n
1+x
n + 1 n→∞
0
Z
xn−1
ln(1 + xn ).x 1 1 1
x.
dx =
−
ln(1 + xn )dx
1 + xn
n
n
0
0
xn
ln(2) 1
dx =
−
n
1+x
n
n
Z
1
ln(1 + xn )dx
0
De plus, x → ln(1+x) est concave sur [−1; +∞[ et donc se trouve sous sa tangente. Ainsi, ln(1+x) ≤ x
et donc :
Z 1
Z 1
1
n
ln(1 + x )dx ≤
xn dx ≤
−→ 0
n + 1 n→+∞
0
0
4
j
k
R
Exercice 12.
Z 1
(ln(1 + t))n dt pour n ∈ N. Déterminer un relation de récurrence sur les In , puis un
Soit In =
0
équivalent de In .
--------------------------------------------------------------1)
In =
Z
1
1.(ln(1 + t))n dt
0
=
[(1 + t)ln(1 +
t)n ]10
2(ln(2))n
=
−
−
Z
1
n.(ln(1 + t)n−1 dt
0
nIn−1
2)La relation de récurrence peut se mettre sous la forme
In−1 = 2
De plus In =
Z
0
1
(ln2)n In
−
n
n
(ln(1 + t)n−1 ln(1 + t) ≤ ln(2)In−1 .
In
(ln2)n
Ainsi,
= o(In−1 ) et In−1 ∼ 2
.
n
n
j
k
R
Exercice 13 - Césaro intégrale.
Soit f ∈ Cm (R+ , R) telle que lim f (x) = l, alors lim
x→+∞
x→+∞
1
x
Z
x
f (t)dt = l.
0
-------------------------------------------------------------- Z x
Z x
Z
1
1
1 x
=
≤
f
(t)dt
−
l
(f
(t)
−
l)dt
|f (t) − l|dt ≤
x
x
x
0
0
0
Z
Z
1 a
1 x
|f (t) − l|dt +
|f (t) − l|dt
x 0
x a
Pour le second terme, on utilise ensuite la définition de lim f (x) = l est ∀ε > 0, ∃a > 0, x ≥
a, |f (x) − l| ≤ ε/2. Ainsi :
x→+∞
Z
ε
ε 1 x
ε x−a
.
dx = .
≤
2 x a
2 x
2
a
Z a
Z
1 a
Pour le premier terme, lorsque x tend vers +∞,
|f (t) − l|dt reste fixe et donc
|f (t) − l|dt tend
x 0
0 Z a
1
vers 0. Il existe donc A tel que pour x > A, on a : |f (t) − l|dt ≤ ε/2. En prenant x > M ax(a, A),
x 0
on obtient :
Z x
1
ε ε
f (t)dt − l ≤ + = ε
x
2 2
0
1
x
Z
x
|f (t) − l|dt ≤
5
j
k
R
Exercice 14.
Soit f ∈ C(R, R) telle que :∀(x, y) ∈ R2 , f (x + y) = f (x) + f (y).
1. Montrer que f est nécessairement dérivable. On pourra considérer
Z
1
f (x + y)dy
0
2. Quelles ont les fonctions continues f telles que f (x + y) = f (x) + f (y) pour tout x et y de R.
--------------------------------------------------------------1)D’une part,
Z
1
Z
1
Z
Z
1
1
f (y)dy. Notons k =
f (y)dy = f (x) +
0
0 Z
0
0
Z
1
x+1
D’autre part, par changement de variable on a :
f (x + y)dy =
f (y)dy
f (x + y)dy =
f (x)dy +
0
On a donc l’égalité :
f (x) =
Z
x+1
f (y)dy − k =
x
Comme f est continue, on a donc
aussi. On réitère f C 1 , implique f
2)
Z
t→0
0
f (y)dy
x
x+1
0
x+1
x
C2
f 0 (x) = lim
Z
R1
f (y)dy − k =
et ainsi de suite.
f (y)dy −
Z
0
Z
0
x
f (y)dy − k
x+1
f (y)dy −
Z
x
f (y)dy + k C 1 et donc f
0
f (x + t) − f (x)
f (x + t − x)
= lim
= f 0 (0)
t→0
x+t−x
t
Donc f 0 est constante et f est une fonction affine, f (x) = αx + β. En injectant dans l’équation
fonctionnel, on trouve que β = 0.
j
k
R
Exercice 15.
Soit r ∈] − 1; 1[.
n Y
r2n − 1
kπ
2
+r =
(r + 1)
1. Etablir :
1 − 2r cos
n
r−1
k=1
Z π
2. En déduire la valeur de I(x) =
ln 1 − 2x cos(θ) + x2 dθ
0
--------------------------------------------------------------1)Remarquons tout d’abord que
1 − 2 cos
kπ
n
kπ
kπ
r + r2 = r − ei n
r − e−i n
Ainsi les racines du polynôme sont exactement les racines 2nième de l’unité privé de 1 et où −1 est
r2n − 1
compté deux fois. Donc le polynôme s’écrit encore
(r + 1)
r−1
6
2) Posons f (x, θ) = 1 − 2x cos(θ) + x2 On fait un changement de variable dans I(x) et on l’exprime
comme une suite de Rieman, on obtient :
!
Z 1
n
n
Y
πX
π
k
k
ln(f (r, πu))du = lim
= lim
I(x) = π
ln f x, π
ln
f x, π
n→∞ n
n→∞ n
n
n
0
k=1
k=1
On utilise la question précédente, ce qui donne :
2n
π x + 1 π
x −1
π 2n
I(x) = lim
ln
(x + 1) = lim
ln x − 1 + lim
ln n→∞ n
n→∞ n
n→∞ n
x−1
x − 1
La deuxième limite est nulle ce qui donne :
j
k
R
Si x ∈ ] − 1; 1[
Sinon
I(x) = 0
I(x) = 2π ln |x|
Exercice 16.
Soit f ∈ C([0, 1], R), non nulle.
Z 1
f (t)dt = 0 alors f s’annule au moins une fois sur [0, 1] en changeant de signe.
1. Montrer que si
0
2. Montrer que si
Z
1
f (t)dt =
0
Z
change de signe en ces points.
3. généraliser.
4. Que se passe-t-il si
Z
0
1
1
t.f (t)dt = 0 alors f s’annule au moins deux fois sur [0, 1] et
0
tn f (t)dt = 0 pour tout n de N.
--------------------------------------------------------------R1
Posons µn = 0 tn f (t)dt.
1)Montrons que f change de signe sur [0, 1]. Dans le cas contraire, elle garde un signe constant car f
Z 1
est continue. Supposons que f soit toujours positif, sinon on change f en −f . On a alors
f (t)dt > 0
0
ce qui est impossible.
2)Si f ne s’annule pas deux fois, elle s’annule une unique fois. Soit a tel que f (a) = 0. De plus,
en ce point elle change de signe d’après 1), donc (t − a)f (t) garde un signe constant et de même
Z 1
Z 1
pour
(t − a)f (t)dt. De plus µ0 (f ) = µ1 (f ) = 0 implique que ∀αβ
(αt + β)f (t)dt = 0 et donc
0
0
Z 1
(t − a)f (t)dt = 0.
0
3)Si µ0 (f ) = µ1 (f ) = . . . = µn (f ) alors f s’annule au moins n + 1 fois.
Idées :
a- Récurrence sur le degré de P
b - Par l’absurde, on prend un polynôme qui s’annule aux mêmes endroits
Z 1
que f et on considère
P (t)f (t)dt qui doit à la fois être nul et non nul.
0
4) Idée : il existe une suite de polynômes qui CU vers f
7
Intégration.
Chap 23
Devoir maison
Problème - Équation de récurrence pour le calcul d’une intégrale
Z
1
p
Pour n entier naturel, on pose : In =
xn 1 − x2 .
0
√
2
1. Montrer que si y = 1 − x alors le point (x, y) est sur le cercle de centre (0, 0) de rayon 1 et
dans le demi-plan y ≥ 0. En déduire la signification géométrique de I0 , puis sa valeur.
2. Calculer I1 .
3. Pour tout n ≥ 2, exprimer In en fonction de In−2 . En déduire la valeur de In en fonction de n
(on distinguera le cas n pair et le cas n impair).
4. Montrer que (In ) est une suite positive et décroissante et que cette suite converge vers 0.
5. Montrer que n(n + 1)(n + 2)In In−1 est indépendant de n et calculer sa valeur.
1
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