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Chapitre 27 : Espace 3

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Chapitre 27 : Espace 3
1. Agrandissement-Réduction
1.1 Problèmes
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ?
Affirmation 1 : Si on obtient un rectangle en multipliant les dimensions d'un premier rectangle par
un nombre k strictement positif, alors son aire et son périmètre sont multipliés également par k.
Affirmation 2 : Si on obtient un pavé droit en multipliant les dimensions d'un premier pavé droit
par k strictement positif, alors son volume est également multiplié par k.
1.2 Démonstration
Hypothèse : k est un nombre strictement positif.
•
Soient l et L la largeur et la longueur d'un rectangle.
Aire rectangle
« initial »
Aire du rectangle après
agrandissement
Périmètre rectangle
« initial »
Périmètre du rectangle
après agrandissement
L×l
(kL)×(kl )=k 2×(L×l )
2L+ 2l =2(L+l )
2kL+2 kl=k×2(L+l )
Conclusion : le périmètre du rectangle est multiplié par k et son aire par k2.
•
•
Soient a, b et c les dimensions d'un pavé droit.
Volume du pavé droit « initial »
Volume du pavé droit après agrandissement
a ×b×c
(ka )×(kb )×(kc )=k 3×(a ×b×c )
Conclusion : le volume du pavé droit est multiplié par k3.
1.4 Définition
(F1)
(F2)
(F3)
•
1
F1 est une reproduction de F2 à l'échelle 2 .
1
On dit que F1 est une réduction de F2 de coefficient 2 .
•
F3 est une reproduction de F2 à l'échelle 2 .
F3 est un agrandissement de F2 de coefficient 2.
On admet la propriété suivante :
Propriété
Soit k un nombre strictement positif.
Si polygone (P') est un agrandissement/réduction de coefficient k d'un polygone (P) alors les deux
polygones ont des angles égaux.
1.5 Effet sur les aires et les volumes
On admet les théorèmes suivants :
Théorèmes
Soit k un nombre strictement positif.
Si une figure (F') (un solide (S')) est un agrandissement/réduction de coefficient k d'une figure (F)
(un solide (S)) , alors l’aire de (F') (de (S')) s’obtient en multipliant l’aire de (F) (de (S)) par k2.
Si un solide (S') est un agrandissement/réduction de coefficient k d'un solide (S), alors le volume de
(S') s’obtient en multipliant le volume de (S) par k3.
Remarque :
On a démontré ce théorème dans le cas du rectangle pour les aires et dans le cas du pavé droit pour
les volumes.
2. Section d’une pyramide et d’un cône de révolution par un plan parallèle à
sa base
2.1 Etude de cas particuliers
S
S'
P
P'
D
A
C
E
F
B
Données :
•
SABCD est une pyramide dont la base est le quadrilatère ABCD.
•
C est un cône de sommet S' et de base, un disque de diamètre [EF].
•
P est un plan parallèle à la base de la pyramide et P’ est un plan parallèle à la base du cône.
•
P coupe [SA], [SB], [SC] et [SD] respectivement en A’, B’, C’ et D’.
•
P’ coupe [S'E] et [S'F] respectivement en E’ et F’.
En utilisant le théorème de Thalès, on peut démontrer que :
 A’B’C’D’ est une réduction de ABCD et que SA’B’C’D’ est une réduction de SABCD de même
coefficient.
 Le cône de sommet S' et de base, le disque de diamètre [E’F’] est une réduction de C.
2.2 Enoncé des théorèmes
On admet les théorèmes suivants:
Théorème 1 :
•
La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone qui est une réduction
du polygone constituant la base de la pyramide.
•
Si on sectionne une pyramide par un plan parallèle à la base, la « petite » pyramide obtenue est
une réduction de la pyramide initiale.
Théorème 2 :
•
La section d'un cône par un plan parallèle à la base est un cercle qui est une réduction du cercle
de base du cône
•
Si on sectionne un cône de révolution par un plan parallèle à la base, le « petit » cône obtenu est
une réduction du cône initial.
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