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Chapitre 13 - Triangle rectangle et cercle

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Chapitre 13 - Triangle rectangle et cercle circonscrit 1. Rappel : médiatrice et cercle circonscrit.
Définition : On appelle médiatrice d’un segment la droite
perpendiculaire à ce segment et passant par le milieu du segment.
Propriétés : - Tout point situé sur la médiatrice d’un segment
est à égale distance des extrémités du segment.
- Tout point situé à égale distance des extrémités d’un segment
est situé sur la médiatrice du segment.
M
x
A
B
Propriété : Dans un triangle, les médiatrices des trois côtés sont concourantes.
Les trois sommets du triangle sont situés sur un cercle de centre O, le point de
concours des médiatrices.
Définition :
Ce cercle est appelé cercle circonscrit au triangle.
Le point O est appelé le centre du cercle circonscrit au triangle.
2. Triangle rectangle et cercle circonscrit.
Propriété : Si un triangle est rectangle alors son hypoténuse est un diamètre du
cercle circonscrit au triangle.
Et ainsi le milieu de l’hypoténuse est le centre O du cercle circonscrit.
Données : Soit le triangle ABC rectangle en A.
C
C
xO
A
A
B
B
Conclusion :
- L’hypoténuse [ BC ] est un diamètre du cercle circonscrit.
- Le milieu O de [ BC ] est le centre de ce cercle.
Propriété réciproque : Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l’un de ses
côtés est un diamètre du cercle alors ce triangle est rectangle.
Et ce côté est l’hypoténuse du triangle rectangle.
C
C
(C)
(C)
xO
xO
A
A
B
Données : - le triangle ABC est inscrit
dans le cercle (C).
- [ BC ] est un diamètre de (C).
B
Conclusion : - le triangle ABC est rectangle
- [ BC ] est l’hypoténuse.
3. Triangle rectangle et médiane issue du sommet de l’angle droit.
Définition : Dans un triangle, on appelle médiane issue d’un sommet la droite
passant par ce sommet et par le milieu du côté opposé.
Propriété : Si un triangle est rectangle alors la médiane issue du sommet de l’angle
droit a pour longueur la moitié de la longueur de l’hypoténuse du triangle.
Propriété réciproque : Si dans un triangle la médiane issue d’un sommet mesure
la moitié de la longueur du côté opposé alors ce triangle est rectangle.
Et l’hypoténuse du triangle est le côté opposé.
C
Propriété : Si le triangle ABC est rectangle en A
Alors on a : AI = IB = IC
I
A
B
Réciproque : Si (AI) est la médiane issue de A
et AI = BC / 2
Alors le triangle ABC est rectangle en A.
Remarque : Le segment [ AI ] est alors un rayon du cercle circonscrit au triangle.
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