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Chapitre 15 - Angles inscrits

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Chapitre 9 - Angles inscrits - Polygones réguliers
1. Angle inscrit, angle au centre :
Soit un cercle C de centre O.
a) Angle inscrit :
C
Définition : On appelle angle inscrit dans le cercle C, un angle
constitué par trois sommets distincts tous situés sur le cercle C.
! ci-contre est un angle inscrit dans le cercle C.
L’angle BAD
! intercepte le petit arc de cercle BD
!
On dit que l’angle inscrit BAD
!.
• L’arc de cercle rouge d’extrémités B et D s’appelle le petit arc de cercle BD
!.
L’arc de cercle vert d’extrémités B et D s’appelle le grand arc de cercle BD
b) Angle au centre :
Définition : On appelle angle au centre du cercle C, un angle
dont le sommet central est le centre O du cercle et les deux
autres sommets sont situés sur le cercle C.
C
! ci-contre est un angle au centre du cercle C.
• L’angle BOD
!.
Cet angle intercepte le petit arc de cercle BD
! ci-contre est un angle au centre du cercle C.
• L’angle BOD
!.
Cet angle intercepte le grand arc de cercle BD
c) Propriétés :
Propriété des angles inscrits :
Dans un cercle, si dans angles inscrits interceptent le même arc de
cercle alors ils ont la même mesure.
C
! et BZD
! sont deux angles inscrits qui inteceptent le
Les angles BAD
! donc BAD
! = BAD
!
même arc de cercle BD
Propriété de l’angle au centre :
Dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre
interceptent le même arc de cercle, alors la mesure de l’angle au
centre est le double de celle de l’angle inscrit.
! et l’angle au centre BOD
! inteceptent le
L’angle inscrit BAD
! donc BOD
! = 2 × BAD
! .
même arc de cercle BD
C
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2. Polygones réguliers.
Définition : Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même
longueur et dont tous les angles ont la même mesure.
Exemples : Un triangle équilatéral est un polygone régulier car
- ses trois cotés ont la même longueur
- ses trois angles ont la même mesure.
C’est le polygone régulier à 3 côtés.
Un carré est le polygone régulier à 4 côtés.
Propriété : Tous les sommets d’un polygone régulier appartiennent à un même
cercle, appelé centre du polygone régulier.
Remarque : On dit que le polygone régulier est inscrit dans le cercle.
Propriété : Si un polygône a tous ses côtés de même longueur et si ses sommets
appartiennent tous à un même cercle alors c’est un polygone régulier.
Exemple : Ce polygone a tous ses côtés de même longueur et
tous ses sommets sur le même cercle : c’est donc un polygone
régulier. C’est le pentagone régulier.
A
O
On en déduit que ses angles ont la même mesure.
B
Définition : On considère un polygone régulier à n côtés ( n ≥ 3).
Soit A et B deux sommets consécutifs du polygone et O le centre du polygone.
! est appelé angle au centre du polygone régulier.
L’angle AOB
Propriété : Dans un polygone régulier à n côtés, il y a n angles au centre.
Les angles au centre sont tous égaux et mesurent chacun : 360° .
n
Exemple : Le polygone régulier précédent a 5 côtés. Chacun de ses 5 angles au
! = 72° .
centre mesure donc 360 = 72° . En particulier AOB
5
Pour un triangle équilatéral, les 3 angles au centre mesurent chacun
360
= 120°
3
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