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Chapitre 1 - Suites numériques

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CHAPITRE 1 - SUITES NUMÉRIQUES
PARTIE A - Rappels
• Une suite ou suite numérique est une liste finie ou infinie de nombres réels.
• Chaque nombre est appelé terme de la suite.
• Le rang d’un terme de la suite est sa position (en comptant à partir de 0) dans la suite.
Notation : On note un le terme de rang n de la suite.
Le premier terme de la suite, terme de rang 0, se note donc u0 , le deuxième terme u1 etc…
Définitions : 1) Lorsque le terme général un d’une suite est donné par une formule ne
dépendant que de n, on dit que cette suite est définie de façon explicite.
2) Parfois le terme général d’une suite est défini à l’aide :
• la donnée d’un terme de la suite.
• une relation exprimant chaque terme en fonction du terme précédent.
Une telle suite est dite définie par une relation de récurrence.
Définition : - Une suite u est dite croissante si chacun des termes de cette suite est
supérieur ou égal au terme précédent : pour tout entier positif n, on a : un+1 ≥ un soit un+1 − un ≥ 0
- Une suite u est dite décroissante si chacun des termes de cette suite est inférieur ou égal
au terme précédent : pour tout entier positif n, on a : un+1 ≤ un soit un+1 − un ≤ 0 .
Attention : Une suite qui n’est ni croissante ni décroissante est dite non monotone.
PARTIE B - Suite arithmétique, suite géométrique.
1. Définitions, sens de variations
Définition : Une suite numérique est dite arithmétique si chaque terme de la suite est
obtenu à partir du terme précédent en ajoutant une contante r appelée raison de la suite.
Ainsi une suite arithmétique u est définie par son premier terme u0 et sa raison r : ⎧u0 = ...
⎨
⎩un+1 = un + r
À retenir : La suite arithmétique u est : - strictement croissante si r > 0
- strictement décroissante si r < 0
- constante si r = 0.
Propriété :
Si u est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r
alors le terme de rang n de la suite est donné par : un = u0 + n × r .
Remarque : si le premier terme de la suite est u1 , la formule s’écrit alors un = u1 + (n − 1) × r .
Définition : Une suite numérique est dite géométrique si chaque terme de la suite est
obtenu à partir du précédent en multipliant par une contante q appelée raison de la suite.
Ainsi une suite géométrique v est définie par son premier terme v0 > 0 et sa raison q : ⎧v0 = ...
À retenir : La suite géométrique v est :
- strictement croissante si q > 1
- strictement décroissante si 0 < q < 1
- constante si q = 1.
⎨
⎩vn+1 = vn × q
Attention : - Si q < 0 alors la suite change de signe à chaque terme et n’est pas monotone.
- Si le premier terme est strictement négatif, les sens de variations sont inversés.
Propriété :
Si v est une suite géométrique de premier terme v0 et de raison q
alors le terme de rang n de la suite est donné par : vn = v0 × q n .
Remarque : si le premier terme de la suite est v1 , la formule s’écrit alors vn = v1 × q n−1 .
2. Limites
Définition : - Les termes de certaines suites se rapprochent toujours davantage, et d’aussi
près qu’on le souhaite, d’un certain nombre l. Ce nombre s’appelle alors limite de la suite.
- Dans le cas d’une suite croissante, il arrive que les termes de la suite deviennent, à partir
d’un rang donné, aussi grand qu’on le souhaite. La limite de la suite est alors +∞ .
- Dans le cas d’une suite décroissante, il arrive au contraire que les termes de la suite
deviennent, à partir d’un rang donné, aussi petit qu’on le souhaite. La limite est alors −∞ .
Propriété : Soit u est une suite arithmétique de raison r.
Alors u admet une limite égale à : +∞ si la suite est croissante (r>0)
−∞ si la suite est décroissante (r<0)
l = u0 si la suite est constante (r=0)
Propriété : Soit v est une suite géométrique de raison q>0 et de premier terme v0 > 0
Alors v admet une limite égale à : +∞ si la raison q est strictement supérieure à 1.
0 si la raison est strictement comprise entre 0 et 1.
l = v0 si la raison q est égale à 1.
Attention : - Si le premier terme est strictement négatif et la raison q>1, la limite est alors −∞
- Si la raison q est strictement négative, la suite n’a généralement pas de limite.
v = 1000
⎧ 1
⎪
⎧u 0 = 1
1
et ⎨
vn+1 = vn
u
=
u
+
5
⎪
n+1
⎩
4
⎩
Exemple : On considère les suites u et v définies respectivement par ⎨
La suite u est arithmétique de raison r=+5. Sa formule explicite est : un = 1+ 5n .
Il s’agit d’une suite croissante et dont la limite est égale à +∞ car r>0.
La suite v est géométrique de raison q=0,25. Sa formule explicite est : vn = 1000 × 0,25 n−1.
Il s’agit d’une suite décroissante et dont la limite est égale à 0 car 0<q<1 et v1 > 0 .
3. Déterminer un seuil
Soit u une suite dont la limite est égale à +∞ et soit A un nombre réel donné.
Il existe un entier p appelé seuil tel que pour tout est n ≥ p : un ≥ A .
Soit u une suite dont la limite est égale à −∞ et soit A un nombre réel donné.
Il existe un entier p appelé seuil tel que pour tout est n ≥ p : un ≤ A .
Soit v une suite géométrique de raison 0<q<1, de premier terme v0 > 0 et soit A un nombre
réel donné strictement compris entre 0 et v0 . La suite v est ainsi décroissante et de limite 0.
Il existe un entier p appelé seuil tel que pour tout est n ≥ p : 0 ≤ vn ≤ A .
Méthodes : Pour déterminer un tel entier seuil p, on peut :
- utiliser la table de la calculatrice afin de lire la valeur de cet entier.
- écrire (et programmer) un algorithme permettant d’afficher cette valeur :
Entrer Q et A
Entrer Q et A
Entrer R et A
Mettre N à 0 et V à 1000.
Mettre N à 0 et V à 10.
Mettre N à 0 et U à 5.
Tant que V > A
Tant que V < A
Tant que U < A
Ajouter 1 à N
Ajouter 1 à N
Ajouter 1 à N
Stocker V × Q dans V
FinTantQue
Stocker V × Q dans V
FinTantQue
Stocker U + R dans U
FinTantQue
Afficher l’entier seuil N
Afficher l’entier seuil N
Afficher l’entier seuil N
Suite géométrique v de raison 0<q<1
et de premier terme égal à 1000.
Suite géométrique v de raison q>1
et de premier terme égal à 10.
Suite arithmétique u de raison r>0
et de premier terme égal à 5.
Remarque : - la variable N est un compteur qui augmente à chaque tour dans la boucle.
- Les variables V et U contiennent les valeurs de la suite à chaque étape.
- Tant que la condition de la boucle est vraie, on continue à appliquer les instructions.
4. Somme des termes d’une suite arithmétique ou géométrique.
Propriété : La somme des premiers termes d’une suite arithmétique est donnée par :
S = (nb de termes)×
1er terme + dernier terme
2
Propriété : La somme des premiers termes d’une suite géométrique est donnée par :
1− raison nombre de termes
S = (1er terme)×
1− raison
(1− 2 )
⎧v = 3
Exemple Soit v la suite géométrique définie par ⎨ 0
. Alors S = v0 + v1 + ...+ v9 = 3 ×
(1− 2)
⎩vn+1 = vn × 2
10
PARTIE C - Suites arithmético-géométrique.
Définition : Une suite numérique est dite arithmético-géométrique si chaque terme
de la suite est obtenu à partir du terme précédent en multipliant par une contante q puis en
ajoutant une constante r. Ainsi une suite arithmético-géométrique u est définie par ⎧u0
⎨
⎩un+1 = q × un + r
⎧u = 4300
Exemple : La suite u définie par ⎨ 0
est une suite arithmético-géométrique.
⎩un+1 = 1,016un − 68
Remarque : Pour étudier une telle suite, on utilise une suite auxiliaire v qui est définie à
partir de la suite u et qui est géométrique.
Exemple : Soit v la suite définie pour tout entier n par vn = un − 4250 . On a :
La suite v est donc géométrique de raison q=1,016
et de premier terme v0 = u0 − 4250 = 4300 − 4250 = 50 .
Ainsi, pour tout entier n, on a : vn = 50 × 1,016 n.
Or vn = un − 4250 d’où 50 × 1,016 n = un − 4250 .
On en déduit finalement que un = 4250 + 50 × 1,016 n.
vn+1 = un+1 − 4250
vn+1 = (1,016un − 68 ) − 4250
vn+1 = 1,016un − 4318
vn+1 = 1,016 × ( un − 4250 )
vn+1 = 1,016 × vn
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