close

Se connecter

Se connecter avec OpenID

Chapitre 2 - Second degré

IntégréTéléchargement
Pour vendredi 09 octobre.
1ère ES1 - DM n°3
Sur copie
Étude marketing d’un four micro-ondes.
Vous êtes le nouveau responsable marketing d’une grande marque
d’électroménager. Votre première étude concerne le tout nouveau
modèle de four micro-ondes de la marque.
Avant de quitter l’entreprise, votre prédécesseur laisse en votre
possession le début de son travail portant sur l’analyse marketing de la
phase préliminaire des trois premiers mois de commercialisation de l’appareil.
Étude de l’offre et de la demande durant la phase préliminaire :
La fonction d’offre f : q ! 0,25q + 29 exprime le prix de vente f (q) (en euros) d’un microondes en fonction de la quantité q d’appareils susceptibles d’être fabriqués chaque jour.
La fonction de demande g : q ! −0,003125q 2 + 204 exprime le prix de vente g(q) (en euros)
d’un micro-ondes en fonction de la quantité q d’appareils susceptibles d’être achetés
chaque jour.
Étude du coût de production durant la phase préliminaire :
Des frais minimum de 2560 euros sont constatés quelque soit le nombre d’appareils
fabriqués. À cela viennent s’ajouter des coûts supplémentaires suivant la quantité
produite. Les données suivantes ont été relevées durant des jours de la phase préliminaire
où la production a été plus ou moins importante :
Nombre de micro-ondes (par jour)
0
50
100
300
350
Cout de production (en euros)
2560
4878
7496
20968
25086
Partie A - Détermination de l’équilibre du marché :
On rappelle qu’un marché est à l’équilibre lorsque les prix de vente déterminés par la
fonction d’offre et par la fonction de demande sont égaux.
1 - À l’aide des fonctions d’offre et de demande estimées, traduire par une égalité
(dépendant de la quantité q) l’équilibre du marché.
2 - Déterminer alors, par calcul, la quantité d’équilibre et le prix d’équilibre du marché.
3 - Tracer les courbes des fonction d’offre et de demande et retrouver graphiquement
l’équilibre du marché.
Pour vendredi 09 octobre.
Sur copie
1ère ES1 - DM n°3
4 - Durant la phase préliminaire, votre prédécesseur avait fixé le prix de vente du microondes à 99 euros. Pensez-vous que ce prix convienne, qu’il est trop élevé ou au contraire
trop bas ?
Partie B - Détermination du coût de production du micro-ondes :
Vous souhaitez modéliser le coût de production quotidien en fonction du nombre de
micro-ondes produits.
1- À l’aide des données relevées relatives au coût de production relevées durant la phase
préliminaire, une modélisation par une fonction linéaire vous paraît-il pertinent ?
2- Et un modèle affine ? Justifier soigneusement.
3- Vous souhaitez modéliser le coût de production C(q) (en fonction de la quantité
produite q par un trinôme du second degré : C(q) = aq 2 + bq + c
4- À l’aide des données, déterminer pourquoi il faut choisir la valeur c = 2560 .
5- À l’aide des coûts de production de 50 et 100 micro-ondes, proposer un système de
deux équations à deux inconnues permettant de choisir correctement les autres
coefficients a et b .
6- Résoudre le système afin de déterminer complètement la formule du coût de
production C(q) .
7- Vérifier enfin à l’aide des deux dernières données relatives au coût de production (pour
300 et 350 appareils) que cette modélisation est pertinente. Partie C - Détermination de la production pour un bénéfice optimal :
La phase préliminaire étant terminée, vous décidez de commercialiser le four microondes. Vous fixez le prix de vente à 79 euros et votre modélisation vous permet d’afficher
un coût production C(q) = 0,06q 2 + 43, 36q + 2560 euros (où q est la quantité produite).
1- Déterminer la recette R(q) en euros, en fonction de la quantité q produite. 2- Rappeler la définition du bénéfice, noté B(q), et montrer que : B(q) = −0,06q 2 + 35,64q − 2560
3- Avec un tableur, tracer un tableau de valeurs (pour une pour une quantité allant de 0 à
350 appareils) du bénéfice B(q). Tracer également la représentation graphique.
On imprimera et on joindra à la copie le tableau et le graphique obtenus.
4- À l’aide d’un tableau de signe que l’on représentera, déterminer quelle est la
production quotidienne minimale pour que l’entreprise dégage des bénéfices sur la
commercialisation de cet appareil.
5- Selon vous, quel est le nombre d’appareils qu’il faut produire pour un bénéfice
optimal ? Expliquer en détail. (On pourra tracer un tableau de variations). 1ère ES1 - DM n°3
Corrigé
Partie A - Détermination de l’équilibre du marché :
1- L’équilibre du marché est atteint pour une quantité q telle que f (q) = g(q) .
On en déduit 0,25q + 29 = −0,003125q 2 + 204 soit 0,003125q 2 + 0,25q − 175 = 0 .
2- Pour résoudre, l’équation du second degré précédente, on calcule le discriminant :
Δ = 0,25 2 − 4 × 0,003125 × (−175) = 2,25
Comme le discriminant est strictement positif, l’équation a deux solutions :
x1 =
−0,25 − 2,25
= −280
2 × 0,003125
et
x2 =
−0,25 + 2,25
= 200
2 × 0,003125
Dans ce problème, q est une quantité donc seule la solution positive a un sens.
On en déduit que la quantité d’équilibre est q=200.
Par ailleurs, le prix d’équilibre est de : f (200) = 0,25 × 200 + 29 = 79 euros.
3 - Graphiquement, l’équilibre du marché se lit comme point d’intersection des
représentations graphiques des fonctions d’offre et de demande.
Plus précisément, la quantité d’équilibre est l’abscisse de ce point et le prix d’équilibre est
l’ordonnée de ce point.
4 - Un prix de vente fixé à 99 euros est au-dessus du prix d’équilibre. Par conséquent, ce
prix est sans doute trop élevé et l’offre sera supérieure à la demande. Il risque donc d’y
avoir des invendus.
Partie B - Détermination du coût de production du micro-ondes :
1- Une modélisation par une fonction linéaire du coût de production par une fonction
linéaire n’est pas pertinente car ces coûts ne sont pas proportionnels à la quantité
produite. En effet, pour une quantité nulle, les coûts sont de 2560 euros.
2- Une modélisation par une fonction affine ne conviendrait pas non plus, car en plaçant
ces points dans un repère, ceux-ci ne sont pas alignés.
3- D’après le tableau, on a C(0) = 2560 . Or C(0) = a × 0 2 + b × 0 + c = c d’où c = 2560.
On en déduit que C(q) = aq 2 + bq + 2560 .
5- Par ailleurs, on a : C(50) = 4878 et C(100) = 7496 . On peut donc écrire :
⎧⎪a × 50 2 + b × 50 + 2560 = 4878
⎨
2
⎪⎩a × 100 + b × 100 + 2560 = 7496
6- ⎧50a + b = 46, 36
⎨
⎩100a + b = 49, 36
⎧b = 43, 36
⎨
⎩a = 0,06
soit
(L1) <— (L1) : 50
(L2) <— (L2) : 100
On en déduit :
⎧2500a + 50b = 2318
⎨
⎩10000a + 100b = 4936
⎧b = 2 × 46, 36 − 49, 36
⎨
⎩100a + b = 49, 36
(L1) <— 2 (L1) - (L2)
C(q) = 0,06q 2 + 43, 36q + 2560
1ère ES1 - DM n°3
Corrigé
7- On a alors
C(300) = 0,06 × 300 2 + 43, 36 × 300 + 2560 = 20968
C(350) = 0,06 × 350 2 + 43, 36 × 350 + 2560 = 25086
Cette modélisation semble donc pertinente.
Partie C - Détermination de la production pour un bénéfice optimal :
1- Le prix de vente étant fixé à 79 euros, la recette est donnée par : R(q) = 79 × q
2- Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût de production.
On en déduit : B(q) = R(q) − C(q) = 79q − ( 0,06q 2 + 43, 36q + 2560 ) = −0,06q 2 + 35,64q − 2560
3-
4-Pour que l’entreprise dégage des bénéfices sur la commercialisation de cet appareil, il
faut que B(q) > 0 . Étudions donc le signe du trinôme −0,06q 2 + 35,64q − 2560 .
Δ = (35,64)2 − 4 × (−0,06) × (−2560) = 655,81
Comme le discriminant est strictement positif, l’équation a deux solutions :
x1 =
−35,64 − 655,81
! 510
2 × (−0,06)
et
x2 =
−35,64 + 655,81
! 84
2 × (−0,06)
Comme a = −0,06 < 0 , la fonction bénéfice B(q) est strictement positive entre ces deux
valeurs. L’entreprise réalise donc des bénéfices pour une production d’au minimum 84
appareils et d’au maximum 509 appareils.
−b
−35,64
5- Le sommet de la parabole de la fonction bénéfice B est atteint en q = 2a = 2 × (−0,06) =
On en déduit que l’entreprise réalise un bénéfice maximal pour une
production de 297 appareils. Le bénéfice est alors de B(297) = 2732,54 euros.
297
GRILLE DE NOTATION
Partie A
Total
/5
Partie B
Total
/6,5
Partie C
Total
Question 1 Question 2 Question 3 Question 4
/7,5
/1
/2
/1
Présentation
Total
/1
/1
Question 1 Question 2 Question 3 Question 5 Question 6 Question 7
/ 0,5
/ 0,5
/ 0,5
/2
/2
Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5
/ 0,5
/1
/2
/2
/2
/1
Note finale
/ 20
Auteur
Document
Catégorie
Uncategorized
Affichages
0
Taille du fichier
656 KB
Étiquettes
1/--Pages
signaler