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Chapitre 1 - Matrices

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CHAPITRE 1 - MATRICES
Sciences Économie
1) Définitions et vocabulaire :
Pour être admis dans une école supérieure,
des concours sont mis en place.
Les candidats doivent passer trois épreuves écrites :
Sciences, Économie, Culture générale.
Ci-contre, on indique leurs résultats respectifs.
Culture générale
Candidat 1
17
8
11
Candidat 2
12
10
10
Candidat 3
5
16
9
Candidat 4
10
14
14
Candidat 5
6
7
17
Ce tableau peut être synthétisé sous la forme d’un tableau de nombres A à
5 lignes (candidats) et 3 colonnes (épreuves). Le nombre situé en ligne i et
colonne j représentant ainsi la note du candidat n° i à l’épreuve n° j.
Définition : Un tableau de nombres ayant m lignes et n colonnes
est une matrice de dimension notée « m × n » . Chaque nombre
est appelé coefficient. Pour une matrice A, on note aij le
coefficient situé sur la ligne i et sur la colonne j.
⎛
⎜
⎜
A=⎜
⎜
⎜
⎝
17 8 11 ⎞
12 10 10 ⎟
⎟
5 16 9 ⎟
10 14 14 ⎟
6 7 17 ⎟⎠
⎛ a … a
11
1n
⎜
A=⎜ ! " !
⎜ am1 ! amn
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Exemple : La matrice A représentant les résultats des candidats
a pour dimension 5 × 3. Dans cette matrice, on a par exemple a13 = 11 et a42 = 14 .
Exercice : Soit
A=
(1
−2
),
⎛ 2 ⎞
⎜
⎟
B = ⎜ −2 ⎟
⎜ 0,5 ⎟
⎝
⎠
,
⎛
⎞
C=⎜ 1 7 ⎟
⎝ 8 5 ⎠
,
⎛ 0 0 0
D=⎜ 0 0 0
⎜
⎝ 0 0 0
⎞
⎟
⎟
⎠
,
⎛
⎞
E=⎜ 4 0 ⎟
⎝ 0 2 ⎠
,
⎛ 1 5 2
F =⎜ 0 4 1
⎜
⎝ 0 0 6
1- Donner la dimension de chaque matrice.
2) Lire les coefficients suivants : a12 ; b31 ; c22 ; d32 ; e21 ; f23
Vocabulaire : - La matrice A ne contient qu’une seule ligne : A est une matrice ligne.
- La matrice B ne contient qu’une seule colonne : B est une matrice colonne.
- La matrice C contient autant de lignes que de colonnes (2 de chaque).
La matrice C est ainsi une matrice carrée d’ordre 2.
- La matrice D est une matrice carrée remplie de 0 : D est la matrice nulle d’ordre 3.
- La matrice carrée E a des coefficients nuls hors de la diagonale : E est une matrice diagonale.
- La matrice carrée F a des coefficients nuls sous la diagonale : F est triangulaire.
2) Somme de deux matrices de même dimension :
Définition : Si A et B sont deux matrices de même dimension, on appelle matrice somme
de A et B et on note A+B la matrice obtenue en ajoutant coefficient par coefficient A et B.
Plus précisément, le coefficient en ligne i et colonne j de la matrice somme est : aij + bij
Attention : Il est impossible de faire la somme de deux matrices de dimensions différentes.
La matrice somme A+B a toujours la même dimension que les matrices A et B.
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
B=⎜
⎜
8 11 ⎞
⎜⎝
⎟
Les quatre premiers candidats sont déclarés admissibles et passent trois épreuves orales.
On note donc leurs résultats sous forme d’une matrice rectangulaire B de dimension 4 × 3 :
Pour rappel, les notes écrites de ces 4 candidats sont données par la matrice
Les matrices A et B ont la même dimension.
⎛
⎜
A=⎜
⎜
⎜⎝
17
12 10 10
⎟
5 16 9 ⎟
10 14 14 ⎟⎠
16
9
4
10
10
13
19
13
13
10
12
18
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
⎛ 33 18 24 ⎞
Les notes globales (écrit+oral) à ce concours sont donc données
⎜
⎟
par la matrice somme de A et B de dimension 4 × 3 égale à : M = A + B = ⎜ 21 23 20 ⎟
⎜ 9 35 21 ⎟
⎜⎝ 20 27 32 ⎟⎠
Exercice : Justifier l’existence de la matrice somme et calculer dans chaque cas :
a) A =
(2
5 −7
) et B = ( −1
4 −9
)
b)
⎛
⎞
C=⎜ 1 7 ⎟
⎝ 8 5 ⎠
et
⎛
⎞
D = ⎜ −4 0 ⎟
⎝ 0 −2 ⎠
c)
⎛ 2 ⎞
⎜
⎟
E = ⎜ −2 ⎟
⎜ 0,5 ⎟
⎝
⎠
et
⎛ 2 2
⎜
F = ⎜ −3
⎜ 1,5
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Remarque : Si A est une matrice et O la matrice nulle de même dimension que A alors A + O = O + A = A
Si A et B sont deux matrices de même dimension alors A + B = B + A ( somme commutative ).
3) Produit d’une matrice par un nombre réel :
Définition : Si A est une matrice et k un nombre réel, on note kA ou k × A la matrice, de
même dimension, obtenue en multipliant chaque coefficient de la matrice A par le réel k.
Plus précisément, le coefficient en ligne i et colonne j de la matrice kA est : k ×aij .
Exercice : Multiplier chaque matrice ci-dessus par le 2 puis par -3
⎛ 16,5
9
12
10
17,5 10,5
13,5 16
Pour obtenir les notes globales sur 20 des quatre candidats au concours,
⎜
10,5 11,5
il suffit de multiplier la matrice M ci-dessus par 0,5. On obtient alors : N = 0,5M = ⎜
⎜ 4,5
⎜ 10
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Propriété : Si A et B sont deux matrices de même dimension et k un réel : k( A + B) = kA + kB
4) Produit d’une matrice par une matrice colonne :
Définition : Si L est une matrice ligne à n éléments et C une matrice colonne à n éléments
alors on définit le produit L × C comme étant le nombre égal à la somme des produits de
⎛
chacun des n éléments de L par l’élément de C qui correspond.
⎜
Plus précisément L × C = l11 × c11 + l12 × c21 + ... + l1n × cn1 où L et C sont L = l11 l12 … l1n et C = ⎜⎜
(
)
Attention : Il faut qu’il y ait autant d’éléments dans la matrice ligne et la matrice colonne.
⎛ 3 ⎞
C=⎜ 4 ⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 1 ⎟⎠
Les coefficients aux épreuves du concours sont respectivement égaux à 3, 4 et 1. Notons
la matrice colonne contenant ces coefficients.
Pour calculer le score total obtenu, par le candidat 1 dont les notes sont
,
on calcule le produit L × C = 16,5 × 3 + 9 × 4 + 12 × 1 = 97,5 . Son score est donc de 97,5 sur 160.
⎛
⎞
En procédant de même on obtient le score total de chaque candidat. ⎜ 97,5 ⎟
Soit S la matrice colonne contenant le score total des 4 candidats : S = ⎜ 87,5 ⎟
⎜ 94 ⎟
⎜⎝ 100 ⎟⎠
c11 ⎞
⎟
c21 ⎟
! ⎟
⎜
⎟
⎜⎝ cn1 ⎟⎠
Définition : Si A est une matrice de dimension m ×× n et C une matrice colonne à n éléments
alors on définit la matrice produit A× C comme étant la matrice colonne dont le i-ème
élément est obtenu en multipliant la ligne i de A par la matrice colonne C au sens précédent.
Ainsi, si l'on note
⎛ a
11
⎜
A=⎜ !
⎜ am1
⎝
a12
!
am2
… a1n ⎞
⎟
" ! ⎟
! amn ⎟
⎠
et
⎛
⎜
C=⎜
⎜
⎜
⎜⎝
c11 ⎞
⎟
c21 ⎟
! ⎟
⎟
cn1 ⎟⎠
alors
⎛ a × c + a × c + ... + a × c
11
11
12
21
1n
n1
⎜
a21 × c11 + a22 × c21 + ... + a2n × cn1
⎜
A×C =
⎜
!
⎜
⎜⎝ am1 × c11 + am2 × c21 + ... + amn × cn1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
Attention : Il faut que les dimensions soient compatibles c’est-à-dire que le nombre
d’éléments de la matrice colonne C soit égal au nombre de lignes de A.
⎛
La matrice colonne
⎛ 97,5 ⎞
⎜
⎟
S = ⎜ 87,5 ⎟
⎜ 94 ⎟
⎜⎝ 100 ⎟⎠
contenant le score total des 4 candidats vérifie :
16,5
9
12 ⎞ ⎛
3 ⎞
⎜
⎟
10,5 11,5 10 ⎟ ⎜
⎜
S=
× 4 ⎟
⎜ 4,5 17,5 10,5 ⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎠
⎜ 10 13,5 16 ⎟ ⎝
⎝
⎠
5) Produit de deux matrices :
Définition : Si A est une matrice de dimension m ×× n et B une matrice de dimension n × p
alors on définit la matrice produit A× B comme étant la matrice Q de dimension m × p
dans laquelle chaque colonne est égale au produit de la matrice A par la colonne
correspondante de B. Plus précisément, le coefficient qij est obtenue par multiplication de la
i-ème ligne de A par la j-ème colonne de B.
Attention : - Il faut que les dimensions soient compatibles !
On peut retenir la règle des dimensions suivante : ( m × n ) par ( n × p ) donne ( m × p )
- En général : A × B ≠ B × A ( le produit matriciel n’est pas commutatif ).
Exercice : Calculer la matrice produit de A par B après avoir
vérifié l’existence du produit et calculer la dimension :
⎛
⎜
A=⎜
⎜
⎜⎝
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
⎛
⎞
B=⎜ 1 2 3 ⎟
⎝ 4 5 6 ⎠
Propriété : Si A et B, C sont trois matrices de dimensions compatibles alors A × (B × C) = ( A × B) × C
6) Matrice Identité :
Définition : On appelle matrice identité d’ordre n et on note I n la matrice carrée
d’ordre n qui est diagonale avec coefficients diagonaux tous égaux à 1.
⎛ 1 0 0 ⎞
0 1 0 ⎟
⎟
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
Exemple : La matrice identité d’ordre 3 est I3 = ⎜⎜
et celle d’ordre 2 est I2 = ⎛⎜
1 0 ⎞
⎝ 0 1 ⎟⎠
.
Propriété : Soit A une matrice de dimension m × n et I m, I n les matrices identités.
Alors on a A × I n = A et I m × A = A . Ainsi, le produit de A par une matrice identité donne A.
Remarque : La matrice identité est le neutre du produit matriciel (comme 1 pour la
multiplication de deux nombres).
7) Puissance d’une matrice carrée:
Note : Selon la règle des dimensions, le produit d’une matrice carrée par elle même existe
toujours et donne une matrice carrée de même dimension.
A#
×"
... #
×$
A
Définition : Si A est une matrice carrée d’ordre n alors on note : A2 = A × A , …, A k = !
0
k
fois
Par convention, on note : A = I n . Attention : - Il faut absolument que la matrice A soit carrée pour que cela ait un sens.
- Il ne faut penser que les coefficients de A2 sont égaux à ceux de A mis au carré.
Exercice : Calculer les puissances successives de la matrice carrée
⎛ 1 5 2
F =⎜ 0 4 1
⎜
⎝ 0 0 6
⎞
⎟
⎟
⎠
.
Remarque : L’utilisation de la calculatrice permet de calculer facilement de telles puissances.
8) Inverse d'une matrice carrée :
Définition : Soit A est une matrice carrée d’ordre n.
Lorsqu’elle existe, on note A−1 l’unique matrice carrée d’ordre n qui vérifie : A × A−1 = A−1 × A = I n
On appelle cette matrice la matrice inverse de la matrice A.
Attention : La matrice inverse d’une matrice carrée A n’existe pas toujours !!!
Dans ce cas, on dit que la matrice A n'est pas inversible.
Remarque : L’utilisation de la calculatrice permet de savoir si l’inverse d'une matrice existe
(sinon, un message d’erreur apparait) et permet aussi de calculer cette matrice inverse.
⎛ 16 12 12 ⎞
Lors d'un autre concours, trois candidats ont obtenu les notes suivantes aux trois épreuves : A = ⎜ 13 19 10 ⎟
⎜
⎟
Sachant que chaque candidat a obtenu un score total de 100, peut-on déduire les coefficients ⎝ 19 8 8 ⎠
appliqués à chaque épreuve de ce concours ?
⎛ x ⎞
⎛ 100 ⎞
⎜⎝ z ⎟⎠
⎝ 100 ⎠
Notons X = ⎜⎜ y ⎟⎟ la matrice colonne des coefficients et celle S = ⎜⎜ 100 ⎟⎟ des scores des candidats.
⎜
⎟
L’équation matricielle suivante est vérifiée : A × X = S .
Comme la calculatrice montre que la matrice A est inversible, la matrice inverse A−1 est bien définie.
−1
−1
On en déduit par multiplication (à gauche) par A−1 : A × ( A × X ) = A × S
(!A#"×#$A) × X = A
−1
−1
×S
I3
X = A−1 × S
⎛ 4 ⎞
À l’aide de la calculatrice, on calcule donc A−1 puis A−1 × S et on obtient X = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ .
⎜⎝ 1 ⎟⎠
Les coefficients à ce concours sont donc respectivement de 4, 2 et 1.
Remarque : Une autre méthode aurait consister à résoudre un système à 3 inconnues.
C’est pourquoi, on parlera souvent ici de résolution matricielle de système.
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