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Chapitre 4 : Acoustique musicale

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Chapitre 4 : Acoustique musicale
Chapitre 4 : Acoustique musicale
Une onde sonore périodique, donc de fréquence déterminée, est perçue comme un son musical son grave si la fréquence est basse, son aigu si elle est élevée. Mais qu'est-ce qui distingue le son
d'un violon de celui d'une clarinette ou d'un tambourin ? Comment articule-t-on les différentes
voyelles ? Quelle est l'incidence de sons très intenses et prolongés sur l'audition ?
Ce chapitre, essentiellement descriptif et informatif, a pour but d'expliquer le principe de
fonctionnement de quelques instruments de musique, de l'oreille ainsi que de la voix, à partir des
notions vues dans les chapitres précédents.
4.1 Harmoniques, gammes et instruments de musique
Si la fréquence d'une onde sonore périodique est liée à la hauteur du son perçu, comment l'oreille
interprète-t-elle alors les harmoniques c'est-à-dire les ondes dont les fréquences sont des
multiples entiers de la fréquence f1 d'un son fondamental ? L'expérience montre que si f1 est une
fréquence correspondant à un Do1, alors f2 = 2f1 représente le Do à l'octave supérieure, noté Do2,
f3 = 3f1 le Sol au-dessus de Do2 soit Sol2, f4 = 4f1 le Do suivant, Do3 et ainsi de suite. On génère
ainsi les notes que nous connaissons :
Rang f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
f9
f10
f11
f12
f13
f14
f15 f16
f17
Note Do1 Do2 Sol2 Do3 Mi3 Sol3 Sib3 Do4 Ré4 Mi4 Fa#4 Sol4 Lab4 Sib4 Si4 Do5 Do#5
En notation musicale la suite des harmoniques s'écrit :
La série des harmoniques permet de définir les intervalles de notre gamme musicale. En effet, les
harmoniques 1 et 2 (Do1 – Do2), puis 2 et 4 ainsi que 4 et 8 etc. sont séparées par une octave. Le
rapport des fréquences correspondant à l'intervalle d'octave est donc toujours le même et vaut ici
2/1 = 4/2 = 8/4. Pour la quinte, intervalle entre les harmoniques 2 et 3 (Do2 – Sol2), le rapport des
fréquences est de 3/2. Pour la tierce majeure, intervalle entre les harmoniques 4 et 5 (Do3 – Mi3),
il vaut 5/4. On peut établir de la sorte le rapport des fréquences pour un intervalle musical
quelconque. En divisant l'octave en 12 demi-tons égaux, on obtient pour le rapport des
fréquences correspondant à un demi-ton, la valeur 12 2 ≅ 1,06 . Ainsi, en modifiant de 6% la
longueur vibrante d'une corde ou d'un tuyau, on change la hauteur d'un son d'un demi-ton. Ceci
permet de comprendre la disposition des frettes (petites barrettes métalliques) le long du manche
de la guitare et dont le rôle est de délimiter les longueurs vibrantes de la corde pour obtenir une
€
suite de demi-tons.
Manche de guitare avec frettes indiquant la position des demi-tons
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Chapitre 4 : Acoustique musicale
 Instruments à cordes
Les cordes déplacent très peu d'air en vibrant. Les sons qu'elles produisent sont quasiment
inaudibles et doivent donc être amplifiés. Ceci est réalisé en couplant les cordes à une table
d'harmonie par l'intermédiaire d'un chevalet : la vibration sonore est alors transmise à la table et
rayonnée par l'ensemble de celle-ci. Le chevalet est bien visible dans le cas du violon où il est
tenu par les cordes tendues qui l'appuient contre la table d'harmonie. Pour résister
mécaniquement à la pression des cordes, la table est légèrement bombée et est de plus soutenue
par un petit cylindre en bois (l'âme) qui s'appuie sur le fond de la caisse du violon.
Violon avec chevalet et âme visible à travers l'ouïe
Les fréquences propres de la table d'harmonie jouent bien sûr un rôle important pour la qualité
du son puisqu'elles filtrent les fréquences produites par la corde, en renforçant certaines et en
atténuant d'autres. Le violon comporte 4 cordes de diamètres différents que l'on accorde en
ajustant leur tension. La longueur vibrante L des cordes est définie par la position des doigts sur
la touche et permet de produire toutes les notes de la gamme, avec une fréquence fondamentale
valant f1 = (1/2L) F / µ .
Dans le cas du piano, la vibration des cordes est également transmise à la table d'harmonie par
l'intermédiaire de deux chevalets, un pour les notes graves, un autre pour les notes aiguës et
€ intermédiaires. Mais ici la longueur des cordes est définie une fois pour toutes par le constructeur
et ne peut être modifiée par l'exécutant. Le clavier comprend 88 touches et à chacune des touches
est associée une seule note. On voit dans l'illustration de gauche ci-dessous les chevalets fixés
sur la table d'harmonie et sur l'illustration de droite comment les cordes des notes graves entrent
en contact avec le chevalet. On notera par ailleurs que les cordes des graves sont filées, c'est-àdire qu'elles sont constituées d'un coeur en acier sur lequel est enroulé en spirale un fil de cuivre.
Ceci permet d'obtenir des cordes possédant une grande masse linéique tout en restant souple ce
qui favorise l'émission des harmoniques et assure une bonne consonance à la note.
Piano : table d'harmonie avec les deux chevalets et fixation des cordes
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Chapitre 4 : Acoustique musicale
 Instruments à vent
L'intensité sonore produite par la colonne d'air mise en vibration dans un instrument à vent est
suffisante pour que le son soit audible directement. La hauteur de la note émise dépend de la
longueur du tuyau et des conditions d'ouverture et de fermeture à ses extrémités. Ainsi la flûte et
la clarinette, bien qu'ayant approximativement la même longueur, sonnent à l'octave l'une de
l'autre. En effet, l'excitation de la colonne d'air dans la clarinette se fait à l'aide d'une anche que
l'on pince entre les lèvres et l'extrémité à laquelle elle est fixée doit donc être considérée comme
fermée. Par contre, dans le cas de la flûte, l'embouchure dans laquelle on souffle constitue une
extrémité ouverte.
Clarinette et flûte : comparaison des longueurs
Ainsi la note fondamentale produite par une clarinette est donnée par f1 = vair /(4L) e t celle
produite par la flûte vaut f1 = vair /(2L) . Les notes de la gamme chromatique s'obtiennent en
variant la longueur de la colonne d'air résonante. Pour cela on ouvre ou ferme les trous disposés
le long du corps de l'instrument. Notons encore que la clarinette ne produit que des harmoniques
impaires et nécessite de ce fait davantage de trous qu'une flûte et€donc un doigté plus complexe.
€ d'un instrument à vent, il influence le timbre en favorisant, s'il est petit,
Quant au diamètre
l'émission d'harmoniques de rang élevé.
Dans le cas des cuivres, les notes sont produites tout d'abord par l'émission de la série des
harmoniques. Pour accéder aux fréquences comprises entre les harmoniques 2 et 3 (l'harmonique
1 n'est pratiquement pas utilisée), soit un intervalle de 7 demi-tons, on ajoute des longueurs de
tuyaux : longueurs continûment variables dans le cas du trombone, 3 longueurs de tuyaux
sélectionnés par 3 pistons dans le cas de la trompette permettant de produire, par combinaisons,
toutes les notes comprises entre les harmoniques 2 et 3.
Illustration de gauche : trompette avec les trois pistons bien visibles. Illustration de droite : deux des trois tuyaux
qui servent à rallonger la colonne d'air ont été enlevés
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Chapitre 4 : Acoustique musicale
Avec le cor de Alpes (ainsi qu'avec les trompettes naturelles utilisées du temps de Bach), la
seule manière d'exécuter des mélodies est d'utiliser uniquement les fréquences de résonance (les
harmoniques) de l'instrument puisque sa longueur n'est pas variable.
4.2 Interférences des ondes sonores
Alors que précédemment nous avons examiné les superpositions d'ondes de même fréquence,
dans ce qui suit on considérera la superposition de deux ou plusieurs ondes sonores sinusoïdales
de fréquences différentes, ce qui conduit à deux situations particulièrement intéressantes. Tout
d'abord, on verra que la superposition de deux sons de fréquences voisines produit des
battements. Ensuite, que la superposition de sons dont les fréquences sont des multiples entiers
de la fréquence d'un son fondamental permet d'obtenir des sons de même hauteur mais de
timbres différents. Nous aurons ainsi abordé quelques notions de base pour la compréhension de
l'analyse et de la synthèse des sons musicaux.
 Battements
Soient deux signaux de même amplitude et de fréquences voisines f 1 et f 2, décrits par les
fonctions y1 (x,t) = Asin(k1 x − ω1t) et y 2 (x,t) = Asin(k 2 x − ω 2 t) . En utilisant les propriétés
d'addition des fonction trigonométriques et en se plaçant en un point fixe, par exemple x = 0, on
trouve que l'onde résultante est une onde de fréquence f = ( f1 + f 2 ) /2 dont l'amplitude est
modulée à la fréquence Δf = f1 − f 2 .
€
€
€
€
En haut :deux ondes de fréquences voisines ; en bas : superposition de ces deux ondes
A l'oreille, on entend un son de fréquence f modulé par un "ouaw-ouaw" de fréquence Δf. On
utilise les battements pour accorder précisément les instruments de musique. Lorsque les
fréquences s'éloignent peu à peu l'une de l'autre, le son se transforme en une vibration unique
dissonante puis finalement, lorsque la séparation fréquentielle est suffisante, en deux sons
distincts.
Exemple 1 : Deux sons de fréquence 440 Hz et 442 Hz sont émis simultanément. On entend alors
une modulation d'intensité à la fréquence 2 Hz.
Exemple 2 : Un son de fréquence 440 Hz est émis simultanément avec un son de fréquence
inconnue. On entend un battement de 3 Hz, ce qui signifie que la deuxième source a une
fréquence de 443 Hz ou de 437 Hz.
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Chapitre 4 : Acoustique musicale
 Timbre : synthèse et analyse des sons
Le son émis par un diapason est une vibration sinusoïdale présentant une seule fréquence bien
précise (par exemple 440 Hz) : c'est un son pur. Par contre, le son produit par une corde ou une
colonne d'air et qui est lui aussi périodique, est un son complexe puisque constitué par la
superposition d'une vibration fondamentale et de ses harmoniques. C'est la fréquence du son
fondamental, indépendamment de la valeur de son amplitude, qui détermine la hauteur du son
complexe. L'ensemble des sons harmoniques, caractérisés par leur fréquence et leur amplitude,
détermine le timbre du son. Les figures suivantes représentent les ondes sinusoïdales, identifiées
par leurs fréquences f1, 2f1 et 3f1, que l'on a utilisées pour synthétiser un son, ainsi que la somme
de ces trois fonctions, notée ytot. Les deux exemples choisis diffèrent par les amplitudes relatives
des harmoniques et illustrent donc deux sons de même hauteur mais de timbres distincts :
Si l'on reporte les fréquences sur l'axe des abscisses et les amplitudes correspondantes sur l'axe
des ordonnées, on obtient les spectres suivants pour les deux sons créés ci-dessus :
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Chapitre 4 : Acoustique musicale
Une autre représentation, mieux adaptée à la description d'un son musical qui est presque
toujours variable au cours du temps, est le sonagramme (appelé parfois sonogramme). C'est une
représentation dans laquelle on reporte trois paramètres : le temps en abscisse, la fréquence en
ordonnée et l'amplitude traduite par un trait plus ou moins gros (ou plus ou moins foncé). Pour
les deux cas traités ci-dessus et en admettant pour simplifier que les sons ne varient pas au cours
du temps, on obtiendrait les sonagrammes suivants :
En pratique, l'analyse d'un son quelconque est réalisée à l'aide d'algorithmes informatiques basés
sur la transformée de Fourier rapide (FFT) et nécessite l'utilisation d'un programme spécialisé.
Quelques exemples sont présentés ci-dessous :
Sonagramme d'un diapason :
Sonagramme d'un bruit :
Clarinette
Violon
Ces sonagrammes permettent de constater que le diapason ne possède qu'une seule fréquence,
que le bruit contient un continuum de fréquences et qu'on ne peut parler dans ce cas de fréquence
fondamentale et d'harmoniques, qu'un tuyau ouvert-fermé (clarinette) ne présente que des
harmoniques impaires et que le violon possède beaucoup d'harmoniques. En général l'intensité
des harmoniques varie au cours du temps.
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Chapitre 4 : Acoustique musicale
L'analyse des sons, dont le but est de déterminer les fréquences des harmoniques constituant un
son complexe donné, peut être comparée à l'analyse et à la décomposition de la lumière blanche.
Là aussi il s'agit de déterminer les fréquences des ondes (c'est-à-dire les couleurs) qui la
constitue. Spectre sonore (spectrogramme) et spectre lumineux (arc-en-ciel ou spectre de raies voir chapitre suivant) apportent un type d'information comparable, une fois dans le domaine des
sons, une autre fois dans celui de la lumière.
4.3 L'oreille humaine
L'oreille est composée de trois parties : l'oreille externe (pavillon et conduit auditif), l'oreille
moyenne (osselets) et l'oreille interne (cochlée). Sa fonction est de transformer un signal sonore
en un signal électrique qui sera transmis au cerveau. Au cours du processus, l'onde sonore se
propage d'abord dans l'air (oreille externe) puis dans un liquide (oreille interne) : ceci nécessite
d'optimaliser le passage de l'onde d'un milieu à un autre, afin d'éviter de trop grandes pertes
d'intensité.
Le son qui se propage dans l'air met en vibration le tympan, auquel sont reliés les osselets. Ceuxci amplifient la vibration en se comportant à la fois comme leviers et comme "multiplicateurs" de
pression. La pression sonore amplifiée est ensuite transmise, via la fenêtre ovale, à l'oreille
interne, remplie de liquide. Les oscillations du liquide sont communiquées aux cils de cellules
spécialisées et ce sont elles qui transforment finalement le signal acoustique en un signal
électrique.
La sensibilité de l'oreille varie en fonction de la fréquence du son : elle chute pour les fréquences
très basses ou très élevées et est maximum entre 1 et 5 kHz. Le diagramme de Fletcher cidessous donne les niveaux sonores (dB) correspondant à une perception de même intensité
sonore, en fonction de la fréquence f (Hz) (courbes d'isosonie).
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Chapitre 4 : Acoustique musicale
Diagramme de Fletcher : courbes d'isosonie en fonction de la fréquence
Par ailleurs, la perception des hautes fréquences diminue avec l'âge, comme le montre le
graphique ci-dessous.
Variation de la sensibilité auditive en fonction de la fréquence pour différents âges
L'oreille humaine est un organe très sensible qui se détériore si on le soumet à des bruits trop
intenses. Le temps d'exposition au bruit joue également un rôle. On admet que le niveau sonore
dans un lieu public ne devrait pas dépasser 93 dB quelle que soit la durée d'exposition. Des
pertes auditives ou l'apparition d'acouphènes peuvent survenir si la sollicitation de l'oreille est
exagérée (walkman à fond, musique d'orchestre, discothèques...). Le schéma ci-dessous
représente la durée d’exposition hebdomadaire tolérable selon l’intensité du bruit.
Durée d'exposition hebdomadaire tolérable selon le niveau d'intensité pour éviter des lésions de l'oreille
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Chapitre 4 : Acoustique musicale
4.4 La voix humaine
L'instrument musical le plus répandu, bien qu'il soit le moins visible, est la voix ! Une brève
description anatomique et fonctionnelle suivie de l'analyse de quelques sons parlés, permettra de
comparer les caractéristiques de la voix à celles des instruments décrits plus haut. Une coupe
sagittale de la tête montre les éléments jouant un rôle pour l'émission vocale. Les principaux
organes sont décrits ci-dessous.
(a) Les cordes vocales : elles sont constituées de muscles et de ligaments recouverts de
muqueuse et sont fixées d’une part à la "pomme d’Adam" et d’autre part à deux petits cartilages
mobiles. Les cordes vocales peuvent être plus ou
moins rapprochées : lors de la respiration
normale, elles sont écartées, laissant un passage
complet à l’air. Par contre, lorsque l'on parle ou
que l'on chante, elles sont mises en vibration par
l’air sortant des poumons, se rapprochant et
s'écartant alternativement à une fréquence
déterminée par leur masse et leur tension.
(b) Le conduit vocal : il s’étend du larynx
jusqu’à la bouche (et/ou au nez) et joue le rôle de
caisse de résonance. On peut le modéliser
comme un ensemble de cavités souples - cavité
buccale, cavité formée par l'arrière-gorge
(pharynx), cavité nasale - dont on peut modifier
à volonté la forme et le volume. En changeant la
position des organes tels que les lèvres, la
mâchoire, la langue ou le larynx, la section et la
longueur du conduit vocal sont modifiées en
certains endroits bien précis, favorisant ainsi
l'émission de fréquences de résonance
particulières. Le conduit vocal agit donc comme
un filtre de fréquences et détermine l'émission
des voyelles ainsi que le timbre particulier d'une
voix donnée.
Coupe sagittale de l'appareil phonatoire
Schéma des cordes vocales
Photographie des cordes vocales
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Chapitre 4 : Acoustique musicale
Selon les voyelles prononcées, c'est l'une ou l'autre des deux cavités les plus importantes (bouche
et arrière-gorge) qui est dilatée de manière significative. Par exemple, pour émettre un a, on
ouvre la cavité buccale tout en resserrant l'arrière-gorge. Pour la prononciation d'un i, c'est
l'inverse. Quant à l'articulation du ou, la situation est intermédiaire, les deux cavités étant
partiellement ouvertes.
La représentation schématique de la position des organes phonatoires lors de la prononciation
des voyelles a , i et ou est donnée ci-dessous :
Le modèle physique simplifié qui permet de décrire le fonctionnement des organes phonatoires,
est constitué d'un ensemble de deux tuyaux couplés pour lesquels on peut calculer les fréquences
de résonance :
[a]
[i]
[ou]
Bien que les calculs dépassent largement le cadre de ce cours, il est cependant possible
d'imaginer que l'intensité des différentes harmoniques dépendra de la longueur et du diamètre
des tuyaux.
Les figures ci-dessous sont des exemples d'analyse spectrales (sonagrammes) pour une voix
prononçant deux voyelles différentes. Ces sonagrammes présentent une structure générale
semblable quel que soit le locuteur, car chaque voyelle est caractérisée par une signature
spectrale qui lui est propre.
Sonagramme du son "a"
Sonagramme du son "i"
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Page à carreaux
impaire
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Chapitre 4 : Acoustique musicale
Exercices
Dans ce qui suit on considère que les instruments de musique sont conçus pour produire une gamme chromatique.
Sauf indication contraire, la température ambiante est de 20°C.
1. Quelle est la fréquence la plus basse produite par une clarinette (tuyau cylindrique ouvertfermé) longue de 65 cm ? A quelle note cela correspond-il ?
2. L'orgue peut produire des notes très graves et il faut donc des tuyaux de longueur adéquate.
Discuter comment l'utilisation de tuyaux ouverts-fermés permet de gagner de la place.
3. Quelle différence y a-t-il, pour ce qui est de la perception sonore, entre un tuyau ouvertouvert long de 10 m et un tuyau ouvert-fermé long de 5 m ?
4. A chaque note du piano correspond en principe une corde. On suppose que toutes les cordes
sont tendues avec la même tension et qu'elles sont faites de la même matière. Considérer
dans ce qui suit que le piano possède une étendue de 7 octaves.
(a) Si, pour produire les différentes notes, les cordes sont toutes de même diamètre mais de
longueur différentes, quelle doit être la longueur de la corde correspondant au son le plus
grave si la corde produisant le son le plus aigu est longue de 8 cm ?
(b) Si, pour produire les différentes notes, les cordes sont toutes de même longueur mais de
diamètres différents, quelle doit être le diamètre de la corde correspondant au son le plus
grave si la corde produisant le son le plus aigu a un diamètre de 1 mm ?
5. Le conduit externe de l'oreille est long de 2,8 cm en moyenne. Calculer les deux premières
fréquences de résonance de ce "tube".
6. Un son de 90 dB parvient à l'oreille. Quelle est l'intensité du son ? Quelle est la puissance
absorbée par le tympan si on suppose que son diamètre est de 0,6 cm ?
7. Combien d'heures d'écoute quotidienne une personne appréciant la musique à un niveau
sonore de 90 dB peut-elle se permettre en étant sûre de ne pas subir de dommages auditifs ?
8. Quel est le domaine des fréquences pour lequel l'oreille est la plus sensible ?
9. Quelles sont les fréquences que l'on entend moins bien en vieillissant ?
10. Les différentes voyelles sont des sons qui différent par leur timbre. Expliquer.
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Chapitre 4 : Acoustique musicale
Page à
impaire
carreaux
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Chapitre 4 : Acoustique musicale
11. Esquissez le sonagramme de la voyelle "a" parlée par un homme, une femme, un enfant. En
quoi diffèrent les sonagrammes correspondants ?
12. Comment produit-on les différentes notes dans une trompette naturelle (à cause de la forme
particulière de la trompette toutes les harmoniques - paires ou impaires - peuvent être
produites) ?
13. Quelle doit être la longueur d'un cor des Alpes pour que la 8ème harmonique produite par le
cor soit un La 440 Hz ? Quelles notes sont associées à la 9ème et 10ème harmonique ?
Remarque : cet instrument étant conique, toutes les harmoniques (paires et impaires) peuvent
être émises.
14. Combien de trous au minimum faut-il prévoir pour la flûte traversière et comment fait-on
pour pouvoir en jouer sur une étendue de 2 octaves ?
15. Une flûte de Pan est composée de 5 tubes. Le plus long mesure 20 cm et produit la note la
plus grave. Les autres tubes sont construits pour produire un son qui soit (a) une octave, (b)
une quinte, (c) une quarte, (d) une tierce au-dessus de la note la plus grave. Quelle doit être
la longueur de chacun de ces tubes ?
16. Combien de trous au minimum faut-il prévoir sur une clarinette pour pouvoir jouer une
gamme chromatique sur une octave ?
17. L'accord des 4 cordes du violon est le suivant (de la corde grave à la corde aiguë) : Sol, Ré,
La, Mi. La fréquence fondamentale du La est de 440 Hz. Calculer la fréquence fondamentale
produite par les autres notes.
18. Démontrer (ou se convaincre) que le rapport de fréquences pour un intervalle de demi-ton
vaut bien 12 2 ≅ 1,06
19. Quel est l'intervalle musical formé par les sons de fréquences 264 Hz et 396 Hz ? Même
€
question pour les sons de fréquences 1056 Hz et 1584 Hz. Que peut-on dire de la relation
existant entre ces deux intervalles ?
20. Quelle doit être la longueur d'une flûte traversière pour que la note la plus grave qu'elle
puisse produire soit un Do ? Quelle information supplémentaire faut-il fournir pour que la
réponse soit sans équivoque ?
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impaire
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