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Agrégation interne de mathématiques
RK
Séance n◦
Thème :C€a„lc‰u„l
1
1-2
€dˆi„f…fé‰r€e“nˆt‰i€e…l
Exercices
1. Étudier l’existence d’une limite en (0,0) des fonctions suivantes :
xy
1 − cos(xy)
x2
(x + y)2
;
;
;
;
xy ;
x+y
x2 + y 2
y2
|x − y|
2. Soit f : R2 → R de classe C 1 , et g : R2 → R, h : R → R définies par g(x, y) = f (y, x)
et h(x) = f (x, x). Montrer que g et h sont de classe C 1 et calculer leurs dérivées partielles
premières.
3. Étudier la continuité de f : R2 → R définie par f (x, y) = x2 si |x| > y, f (x, y) = y 2 si |x| < y,
puis l’existence et la continuité des dérivées partielles.
x sin(y) − y sin(x)
4. Mêmes questions pour f : R2 → R définie par f (x, y) =
.
x2 + y 2
x2 − y 2
∂2f
∂2f
5. f (x, y) = xy 2
si (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0 : Calculer
(0, 0) et
(0, 0).
2
x +y
∂x∂y
∂y∂x
6. L’énoncé suivant est-il correct ? Soient f : R2 → R2 , g : R2 → R, telles que f (0, 0) = (0, 0) et
g(0, 0) = 0. Si f et g admettent des dérivée partielles en (0, 0), alors g ◦ f aussi.
f (y) − f (x)
7. Soit f : R → R une application de classe C 2 . On définit g : R2 → R par g(x, y) =
si
y−x
x 6= y et g(x, x) = f 0 (x). Montrer que f est de classe C 1 .
8. Soit U un ouvert borné de Rn . Soit f : U → Rn une application continue, et différentiable sur
U . On suppose f sur la frontière de U . Montrer qu’il existe x0 ∈ U tel que dfx0 = 0.
9. Soit U un ouvert borné de Rn . Soit f : U → Rn une application différentiable sur U . On suppose
que U est convexe et qu’il existe M > 0 tel que ∀x ∈ U, |kdfx |k 6 M . Montrer que, pour tous
a, b ∈ U , kf (a) − f (b)k 6 M ka − bk.
10. Soit E un espace euclidien. Montrer que u 7→ kuk est différentiable sur E \ {0} et calculer sa
différentielle.
11. E est un plan euclidien, F et F 0 deux points distincts de E et a > ||F F 0 ||/2. Montrer que
l’application M 7→ M F + M F 0 est différentiable sur E et calculer sa différentielle. En déduire
que la normale et la tangente à l’ellipse F M + F 0 M = 2a au point M sont les bissectrices des
−−→ −−−→
droites passant par M et dirigées par F M et F 0 M .
12. Soient A, B, C trois points non alignés du plan euclidien. On s’intéresse au minimum de la
fonction h : M 7→ M A + M B + M C (point de Fermat).
(a) Montrer (sans calcul) que h admet un minimum global (c’est-à-dire qu’il existe M0 tel que
h(M0 ) 6 h(M ) pour tout M ).
(b) Montrer que h est différentiable sur le plan privé de {A, B, C} et calculer sa différentielle.
1
−−→
−−→
AM
BM
(c) Soit M ∈
/ {A, B, C}. Montrer que si h présente un extremum en M , alors
+
+
kAM k kBM k
−−→
CM
= 0.
kCM k
−−→
−−→
−−→
AM
BM
CM
(d) Montrer que s’il existe M ∈
/ {A, B, C} tel que
+
+
= 0, alors les
kAM k
kBM k
kCM k
2π
angles au sommet du triangle sont strictement inférieurs à
.
3
−−→ −→
2π
(e) Montrer que si l’écart angulaire < AB, AC > est supérieur à
, alors le minimum de h
3
est atteint en A (et seulement en A).
(f) Montrer que h admet, en A, B et C une "demi-dérivée" dans la direction de chaque vecteur
h(A + tw) − h(A)
w (c’est-à-dire que, par exemple,
admet une limite quand t → 0+ ).
t
−−→ −→
2π
Montrer que si l’écart angulaire < AB, AC > est strictement inférieur à
, on peut trouver
3
w tel que cette demi-dérivée soit strictement négative. En déduire que le minimum de h
n’est pas atteint en A.
(g) Conclure.
13. Une fonction f : Rn → R est dite convexe si : ∀x, y ∈ Rn , ∀t ∈ [0, 1], f ((1 − t)a + tb) 6
(1 − t)f (a) + tf (b).
(a) Montrer qu’une application convexe est continue.
(b) On suppose f de classe C 1 . Montrer que f est convexe si et seulement si , pour tous a, b ∈
Rn , f (b) > f (a) + dfa (b − a).
14. Soit f : Rn \ {0} → R et p ∈ R. Montrer l’équivalence des deux énoncés suivants :
• f est homogène de degré p : ∀λ > 0, ∀x ∈ Rn \ {0}, f (λx) = λp f (x)
n
X
∂f
• f satisfait la relation d’Euler :
xk
= pf (x)
∂xk
k=1
15. Déterminer un ouvert maximal U de R2 tel que l’application (x, y) 7→ (x + y, xy) définisse un
C 1 -difféomorphisme de U sur son image.
16. Soit k ∈ [0, 1[ et f : R → R vérifiant ∀t ∈ R, |f 0 (t)| 6 k < 1. On considère l’application
F : R2 → R2 définie par F (x, y) = (x+f (y), y+f (x)). Montrer que F est un C 1 -difféomorphisme
de R2 sur R2 .
∂2f
∂2f
∂2f
17. Résoudre l’équation suivante, d’inconnue f ∈ C 2 (R2 , R) : a 2 + 2b
+ c 2 = 0, où
∂x
∂x∂y
∂y
b2 −ac 6 0 (factoriser le polynôme aX 2 +2bXY +cY 2 et en déduire un changement de variables
∂2f
∂2f
simple permettant de se ramener à
=
0
ou
= 0).
∂x2
∂x∂y
18. Résoudre les équations suivantes, en passant en coordonnées polaires (on choisira un domaine
p
∂f
∂f
∂f
∂f
de définition adéquat) : x
+y
= x2 + y 2 ;
x
−y
=0
∂x
∂y
∂y
∂x
19. Déterminer les extrema locaux des fonctions suivantes : x2 +xy +y 2 +2x+3y ;
ex sin y ;
xey + yex ;
20. Déterminer les extrema de la fonction f définie sur R∗+ par
f (x, y) =
xy
(1 + x)(1 + y)(x + y)
2
x3 +y 3 −3xy ;
21. (extrema liées) Soient U un ouvert de R3 , f, g : U → R de classe C 1 . On pose V = {(x, y, z); g(x, y, z) =
0} et l’on suppose V 6= ∅ et que, pour tout (x, y, z) ∈ V , dg(x,y,z) 6= 0. Montrer que si (x0 , y0 , z0 )
est un extremum local de f |V (restriction de f à V ), alors il existe λ ∈ R tel que df(x0 ,y0 ,z0 ) =
λdg(x0 ,y0 ,z0 ) . En déduire qu’il existe λ ∈ R tel que :
∂f
∂g
∂f
∂g
∂f
∂g
(x0 , y0 , z0 ) = λ (x0 , y0 , z0 ),
(x0 , y0 , z0 ) = λ (x0 , y0 , z0 ),
(x0 , y0 , z0 ) = λ (x0 , y0 , z0 )
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
22. Retrouver l’inégalité arithmético-géométrique en étudiant les extrema de la fonction f (x1 , ..., xn ) =
x1 x2 ...xn , définie sur l’hyperplan affine de Rn : {(x1 , ..., xn ); x1 + ... + xn = 1}.
23. Une application des extrema liées à une question de codage. Supposons que l’on veuille un
procédé de codage en binaire un message reçu en français. À chaque lettre ei (1 6 i 6 N , on
associe un code binaire, comme par exemple A → 0110, B → 1001 etc. Afin de pouvoir décoder
aisément le message, on demande que le code d’une lettre ne soit jamais le préfixe (le début)
du code d’une autre lettre (un tel code est qualifié de code préfixe). On souhaite choisir le code
de manière à ce que, compte tenu de la fréquence moyenne pi d’apparition de chaque lettre pi
dans un texte en français, la longueur moyenne d’un message soit aussi petite que possible. Plus
précisément, si on note `i la longueur du code de ei , on souhaite minimiser la quantité
M=
N
X
pi `i
i=1
Une heuristique en terme de quantité d’information permet de deviner la meilleure valeur possible pour C. Considérons qu’apprendre la réalisation d’un événement dont la probabilité est
1/2 nous apporte un bit d’information. Alors, apprendre que n lancers successifs de pile ou face
ont donné tel résultat nous apporte 3 bits d’information. Or un tel événement a pour probabilité
1/2n et n = − log2 (1/2n ). On est ainsi amené à considérer que connaître la réalisation d’un événement de probabilité p apporte − log2 (p) bit d’information. Noter que ceci est compatible avec
l’idée que la connaissance de la réalisation d’un événement certain n’est pas une information,
tandis que savoir qu’un événement extrêmement rare se produit est une information précieuse !
La lecture de la lettre ei d’un message en français apporte donc une information égale à − log2 (pi )
et la lecture d’une lettre quelconque apporte, en moyenne, une information égale à
H=−
N
X
pi log2 (pi )
i=1
Cette quantité est appelée entropie et l’idée heuristique est que le codage en binaire ne pourra
pas améliorer cette information moyenne, c’est-à-dire que, quelque soit le code préfixe, la longueur moyenne du code d’une lettre sera au moins égale à H :
N
X
pi `i > H
i=1
L’exercice consiste à prouver rigoureusement cette inégalité (se ramener à minimiser (x1 , . . . , xN ) 7→
N
X
X
sur {(x1 , . . . , xN ) ∈ R∗+ ;
2xi = 1}). Montrer ensuite qu’il existe un codage pour lequel
pi x i
i=1
N
X
pi `i 6 H + 1
i=1
Remarque : le codage de Huffman montre de manière très explicite comment construire un tel
codage.
3
24. Dans cet exercice, on évitera les calculs longs et pénibles qu’on lit (ou pas) dans de nombreux
ouvrages en utilisant les définitions intrinsèques de grad et div plutôt que leur expressions dans
une base orthonormée.
(a) Soit f : R2 \ {(0, 0, )} → R de classe C 1 . On pose, pour r > 0 et θ ∈ R, g(r, θ) =
∂g
∂g
f (r cos(θ), r sin(θ)). Calculer grad(f ) en fonction de
et
(on l’exprimera dans la base
∂r
∂θ
"mobile" ur = (cos(θ), sin(θ) et uθ = (sin(θ), cos(θ)).
(b) Soit X : R2 \ {(0, 0, )} → R2 de classe C 1 . On pose
X(r cos(θ), r sin(θ)) = A(r, θ)ur + B(r, θ)uθ
Calculer divX en fonction des dérivées partielles de A et B.
(c) Soit f : R2 \ {(0, 0, )} → R de classe C 1 . On pose g(r, θ) = f (r cos(θ), r sin(θ)). Calculer
∆f = div(grad(f )) en fonction des dérivées partielles secondes de g.
(d) Faire la même chose en coordonnées sphériques.
25. Soient k k la norme euclidienne canonique de Rn , f ∈ C 2 (Rn , R) et, pour r ∈ R+ : α(r) =
sup{f (x), kxk 6 r} et β(r) = inf{f (x), kxk 6 r}. On suppose : ∀x ∈ Rn , kgradf (x)k > 1.
Montrer, si r > 0 : α(r) − β(r) > 2r.
26. (preuve élémentaire du théorème des fonctions implicites pour une fonction de R2 dans R) Soit
∂f
(0, 0) > 0.
f : R2 → R une application de classe C k , k > 1. On suppose f (0, 0) = 0 et
∂y
∂f
(a) Montrer qu’il existe β > 0 tel que ∀(x, y) ∈ [−β, β]2 ,
(x, y) > 0.
∂y
(b) Montrer qu’il existe α < β tel que ∀x ∈] − α, α[, f (x, −β) < 0 et f (x, β) > 0.
(c) Montrer qu’il existe une unique application ϕ :] − α, α[→] − β, β[ telle que
∀(x, y) ∈] − α, α[×] − β, β[, f (x, y) = 0 ⇐⇒ y = ϕ(x)
(d) Montrer que ϕ est continue.
(e) Montrer que ϕ est C 1 puis C k .
2
Problème
EITPE 1981
n > 1 est un entier fixé. On note (x1 , x2 , ..., xn ) les coordonnées dans la base canonique de x ∈ Rn .
A = (ai,j )16i,j6n ∈ Mn (R) désigne une matrice symétrique.
On note C k (Rn ) l’ensemble des applications de classe C k de Rn dans R.
D : C 2 (Rn ) → C 0 (Rn ) désigne l’application définie par :
D(f ) =
X
16i6n,16j6n
ai,j
∂2f
∂xi ∂xj
D est une application linéaire dont on notera N le noyau.
Le but de ce problème est d’étudier les applications u : Rn → Rn de classe C 2 qui conservent N ,
c’est-à-dire qui vérifient : ∀f ∈ C 2 (Rn ), f ∈ N =⇒ f ◦ u ∈ N .
Étant donnée u : Rn → Rn de classe C 1 , on note, pour tout x ∈ R, Jx (u) ∈ Mn (R) la matrice
∂ui
Jx (u) =
(x)
∂xj
16i6n,16j6n
4
Étant donnée g ∈ C 2 (Rn ), on note, pour tout x ∈ R, Hx (g) ∈ Mn (R) la matrice
2
∂ g
Hx (g) =
(x)
∂xi ∂xj
16i6n,16j6n
2.1
Première partie
u désigne une application Rn → Rn de classe C 2 qui conserve N . On pose u = (u1 , u2 , ..., un ) (donc
uk ∈ C 2 (Rn )).
1. Montrer que chaque uk est dans N (on pourra considérer fk : Rn → R définie par fk (x) = xk ).
2. Soit f ∈ C 2 (Rn ).
∂uk
∂(f ◦ u)
(x) en fonction des
, de u et x.
(a) Exprimer
∂xi
∂xi
(b) En appliquant deux fois cette relation, montrer que, pour tous i, j vérifiant 1 6 i, j 6 n :
" n n
# " n
#
X X ∂uk
X ∂ 2 uk
∂ul
∂2f
∂f
∂ 2 (f ◦ u)
(x) =
(x)
(x)
(u(x)) +
(x)
(u(x))
∂xi ∂xj
∂xi
∂xj
∂xk ∂xl
∂xi ∂xj
∂xk
k=1 l=1
k=1
(c) Interpréter ces égalités comme une identité matricielle qui exprime Hx (f ◦ u) en fonction
∂f
de t Jx (u), Hu(x) (f ), Jx (u) et des
(u(x)) et Hx (uk ).
∂xk
3. On note Sn (R) le sous-espace de Mn (R) formé des matrices symétriques.
(a) Montrer que que (A, B) 7→ T r(AB) est un produit scalaire sur Sn (R)).
(b) Soient A1 et A2 dans Sn (R). Montrer que si, pour tout S ∈ Sn (R), T r(A1 S) = 0 =⇒
T r(A2 S) = 0 alors il existe λ ∈ R tel que A2 = λA1 .
4. Soit f ∈ C 2 (Rn ).
(a) Montrer que D(f )(x) = T r(AHx (f )).
(b) Montrer que D(f ◦ u)(x) = T r(At Jx (u)Hu(x) (f )Jx (u)).
X
5. Soit S = (Si,j ) ∈ Sn (R), et Q ∈ C 2 (Rn ) définie par : Q(x) =
Si,j xi xj . Calculer
16i6n,16j6n
Hx (Q).
6. Déduire de ce qui précède l’existence, pour tout x ∈ R, d’un réel λ(x) vérifiant : Jx (u)At Jx (u) =
λ(x)A. Montrer alors : ∀f ∈ C 2 (Rn ), D(f ◦ u)(x) = λ(x)D(f )(u(x)).
7. Résoudre complètement le problème lorsque n = 2 et D(f ) =
2.2
∂2f
.
∂x21
Seconde partie
On suppose dans cette partie que la matrice A est inversible et l’on pose B = A−1 (B = (bi,j )).
u : Rn → Rn désigne maintenant une application de classe C 2 telle que :
i. ∀k, 1 6 k 6 n, D(uk ) = 0
ii. ∀x ∈ Rn , ∃λ(x); Jx (u)At Jx (u) = λ(x)A
iii. ∀x ∈ Rn , det(Jx (u)) 6= 0
1. Montrer, pour chaque x, l’unicité de λ(x). Prouver que l’application λ ainsi définie ne s’annule
pas et est de classe C 1 . Établir ensuite : t Jx (u)BJx (u) = λ(x)B.
5
2. Montrer que pour tous i, j, k dans [1, n],
n X
X
p=1 q=1n
Indication : Poser Ti,j,k =
bp,q
∂up ∂ 2 uq
1 ∂λ
∂λ
∂λ
=
bk,i −
bi,j +
bj,k
∂xk ∂xi ∂xj
2 ∂xj
∂xk
∂xi
n X
n
X
bp,q
p=1 q=1
de
n X
X
p=1 q=1n
bp,q
∂up ∂ 2 uq
et évaluer la dérivée partielle par rapport à xk
∂xk ∂xi ∂xj
∂up ∂uq
∂xi ∂xj
∂λ
3. Prouver que : ∀k, 1 6 k 6 n, (n − 2)
= 0.
∂xk
XX
∂up ∂ 2 uq
Indication : Calculer
Ai,j bp,q
.
∂xk ∂xi ∂xj
i,j p,q
4. On suppose n 6= 2.
(a) Montrer que λ est constante et déduire de 2. que, pour tous i,j,q,
∂ 2 uq
= 0.
∂xi ∂xj
(b) Prouver alors que u est affine.
5. Donner un exemple lorsque n = 2 attestant que la conclusion de 4. n’est pas valide dans ce cas.
6
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