close

Se connecter

Se connecter avec OpenID

5 - Free

IntégréTéléchargement
Lyée Fauriel
Classe MP
Espaes préhilbertiens réels Exerie 6
⋆
Produits scalaires, Cauchy-Schwarz, Pythagore ... Soit E est un espace euclidien de dimension n. Soient α un nombre
Exerie 1
réel, puis une famille F = (u1 , · · · , un+1) de vecteurs unitaires
Soient (E, ( | )) un espace préhilbertien, puis (e1 , · · · , en ) dans E et tels que :
une famille de vecteurs unitaires de E telle que sur E :
∀(i, j) ∈ {1, · · · , n + 1}, i 6= j =⇒ (ui | uj ) = α.
n
X
2
2
(x | ei ) . Montrer que la famille (e1 , · · · , en ) est
kxk =
1. Calculer
le déterminant de la matrice A
=
i=1
(u
|
u
)
.
i
j
une base orthonormale de E.
16i,j6n+1
2. En déduire les valeurs possibles de α.
Exerie 2 (⋆)
3. Lorsque α 6= 1, calculer : u1 + u2 + · · · + un+1.
1. Montrer que (A, B) 7→ Tr(AT B) est un produit scalaire
sur Mn (R). Que peut-on dire de la base canonique ?
√
2. Montrer que sur Mn (R), |TrA| 6 n · kAk.
4. Dans un tétraèdre régulier ABCD d’isobarycentre G, quel
[?
est l’angle AGB
3. Calculer S ⊥ avec S l’ensemble des matrices symétriques.
n
X
(aij − mij )2 .
4. En déduire pour A ∈ Mn (R), inf
Exerie 7
5. Montrer que sur Mn (R), kA × Bk 6 kAk × kBk.
Exerie 8 (⋆)
M ∈S
Soit A ∈ Mn (R).
Montrer que Ker(AT ) = Im(A)⊥ et Im(AT ) = Ker(A)⊥ .
i,j=1
Soit M dans Mn (R).
Montrer que Ker(M T M) = Ker(M), puis Im(M M T ) =
Im(M).
Exerie 3 (⋆)
1. Montrer que pour toute forme linéaire ϕ ∈ L (E, R), avec
E euclidien, il existe un seul vecteur u tel que : ϕ = (u | ·).
Projections orthogonales
2. En déduire qu’il existe un seul polynôme P (X) ∈ Rn [X] tel Exerie 9
que :
1. Dans R4 muni de sa structure euclidienne canonique, on consiZ π
dère l’ensemble F des vecteurs x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) tels que
∀Q ∈ Rn [X], Q(1) =
P (t) Q(t) sin t dt.
0
x1 + x2 + x3 + x4 = 0,
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0.
Exerie 4
1. Calculer
pour tout θ
n
cos θ − sin θ
.
sin θ cos θ
∈
R et tout n
∈
Déterminer la matrice, dans la base canonique de R4 , de la
projection orthogonale sur F .
N,
2. Déterminer la matrice de la projection orthogonale par rapport
au plan x + 2y − z = 0 dans R3 .
2. Soit
A
∈
Op (R). Montrer que la limite
Ip + A + · · · + An−1
lim
existe et est égale à une Exerie 10 (⋆)
n→+∞
n
matrice de projection orthogonale dont on précisera les Soient n ∈ N, puis U ∈ Mn,1 (R) une matrice colonne unitaire
caractéristiques.
dans Mn,1 (R) habituel. On pose A = U U T .
Exerie 5
1
On pose : (P | Q) =
2
1. Montrer que la matrice A est une projection.
Z
2. Montrer que A correspond à une projection orthogonale, dont
on donnera les caractéristiques en fonction du vecteur U
1
−1
P (t) · Q(t) dt sur Rn [X].
1. Montrer que (Rn [X], ( | )) est un espace euclidien et établir Exerie 11
l’existence d’une base orthonormale (L0 , · · · , Ln ) de Rn [X]
4
Soit
F le sous-espace vectoriel de R habituel défini par :
telle que ∀i ∈ {0, · · · , n}, deg(Li (X)) = i.
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
. Calculer la distance de u =
2. Montrer que chaque polynôme Li (X) est scindé à racines
x1 − x2 + x3 − x4 = 0
simples dans ] − 1, 1[.
(1, 2, 3, 4) à F .
√
h
i
i (i)
2i + 1
· X2 − 1
.
3. Montrer que : Li (X) = i
Exerie 12 (⋆)
2 · i!
1
1. Soit p un projecteur orthogonal dans Rn habituel.
Exerie 17
Montrer que sur Rn , kp(x)k 6 kxk.
2. On suppose que sur Rn , kp(x)k 6 kxk. Soit x ∈ Imp et Soient (E, (· | ·)) un espace euclidien de dimension n, puis p et q
deux projections orthogonales.
y ∈ Kerp.
(a) Développer pour tout λ ∈ R, kp(x + λy)k2 et kx + 1. Montrer que u = p ◦ q ◦ p est un endomorphisme symétrique.
2. Montrer que (Imp + Kerq)⊥ = Kerp ∩ Imq.
λyk2.
(b) En déduire que (x | y) = 0.
(c) En déduire que p est un projecteur orthogonal.
3. Montrer que (p ◦ q)|Imp est diagonalisable.
4. Calculer (p ◦ q)|Kerq+(Kerp∩Imq) .
5. En déduire que p ◦ q est diagonalisable.
Exerie 13 (⋆)
1. Calculer inf
(a,b)∈R2
2. Calculer
inf
Z
(a,b,c)∈R3
Exerie 18
1
0
Z
(x2 − ax − b)2 dx.
Soient n ∈ N∗ puis A ∈ Mn (R) tel que A2 = 0. Montrer
l’équivalence :
2
1
ex · (x3 − ax2 − bx − c)2 dx.
Ker(A) = Im(A) ⇐⇒ A + AT est inversible
Exerie 14 (⋆)
Soient (E, ( | )) un espace euclidien de dimension n, puis
(x1 , · · · , xp ), p vecteurs de E. On note G(x1 , · · · , xp ) =
(xi | xj )
16i,j6p
∈ Mp (R)
[m atri e
d e
Gr aÆm℄
1. Montrer
que la famille(x1 , · · · , xp ) est liée si et seulement si
det G(x1 , · · · , xp ) = 0.
2. On suppose que la famille (x1 , · · · , xp ) est libre. On pose
F = Vect(x1 , · ·· , xp ). Montrer que
pour x dans E :
(d(x, F ))2 =
det G(x, x1 , · · · , xp )
.
det G(x1 , · · · , xp )
Exerie 15
Soit n ∈ N.
1. Montrer que l’application Φ : (P, Q) 7→
n
X
k=0
P (k) (0) · Q(k) (0)
définit un produit scalaire sur l’espace Rn [X].
2. Montrer que l’ensemble F = {P (X) ∈ E | P (0) = 0}
est un sous-espace de Rn [X] et calculer sa dimension, puis la
distance d(1, F ).
Exerie 16 (⋆)
1. Montrer que l’application Φ : (A, B) 7→ Tr(AT B) définit
un produit scalaire sur l’espace Mn (R).
2. On pose S = {A ∈ Mn (R) | AT = A}. Calculer l’orthogonal S ⊥ pour ce produit scalaire.
n
X
3. Soit l’application f : A = (aij )16i,j6n 7→
|aij |. Cali,j=1
culer f (S1 ) où S1 est la sphère unité pour Φ.
n
4. Calculer inf (a + 1)2 + b2 + (c − 1)2 + (d − 2)2 | a +
o
b+c+d=0 .
2
Exerie 19
2. La matrice A est-elle diagonalisable ? Si oui, calculer ses valeurs propres.
Soient n ∈ N∗ puis A = (ai,j )16i,j6n ∈ Mn (R) telle que
2
T
A = A et A = A.
n
X
Exerie 24 (⋆)
1. Montrer que :
a2i,j = Rg(A).
Soient
p ∈ N, puis A et B dans Sn (R) telles que A2p+1 =
i,j=1
B 2p+1 .
n
X
p
|ai,j | 6 n · Rg(A).
2. Montrer que :
1. Montrer que Sp(A) = Sp(B).
i,j=1
2. Pour tout λ ∈ Sp(A), comparer les espaces Eλ (A),
Eλ2p+1 (A2p+1 ), Eλ (B) et Eλ2p+1 (B 2p+1 ).
Exerie 20
Soit E un espace euclidien de dimension n. On note k · k la norme 3. Montrer que A = B.
euclidienne associée au produit scalaire. Soient B = (e1 , · · · , en )
une base orthonormée de E, puis p ∈ L (E) un projecteur orthoExerie 25 (⋆)
gonal.
Soit A ∈ Sn (R).
n
X
1. Déterminer une CNS C portant sur les valeurs propres de A
kp(ek )k2 .
1. Calculer
pour que l’application Φ : (x, y) 7→ (x | A(y)) soit un
k=1
produit scalaire sur Rn .
2. Trouver un projecteur orthogonal p ∈ L (R3 ) tel que :
h
2.
Montrer
que
C
⇐⇒
∃B ∈ GLn (R), B T = B et
1
i
kp(e1 )k = kp(e2 )k = kp(e3 )k = √ .
3
A = B2.
3. Soient M et M ′ deux matrices symétriques avec M vérifiant
la CNS C . Montrer que la matrice M · M ′ est diagonalisable.
Exerie 21
Soient p et q dans L (E) deux projecteurs orthogonaux définis sur
un espace euclidien E.
1. Montrer que le polynôme caractéristique de q ◦ p est scindé sur Exerie 26
R.
1. Soit A une matrice symétrique dans Mn (R). Montrer que
2. Montrer que toutes les valeurs propres de q ◦ p sont des
la plus grande valeur propre de la matrice A est égale à :
nombres dans l’intervalle [0, 1].
sup (A(x) | x).
kxk=1
2. On considère l’application f : Sn (R) → R qui à toute matrice symétrique réelle A associe la plus grande valeur propre
de la matrice A. Montrer que f est une application « convexe ».
Matrices symétriques réelles
Exerie 22 (⋆)
Diagonaliser dans une base orthonormale les matrices symétriques
réelles suivantes
 :

0 ···
0
1
 0 ···
0
2 
 .
.
.. 
..
•A=
. 
 ..
 ;
 0 ···
0
n−1 
n
1 · · · n − 1
1 2
•B =
2 −1




1 ··· 1
2 2 −1
.. 
• C =  2 0 1  ; • D =  ...
.
−1 1 3
1 ··· 1


13 −2 −3
• E =  −2 10 −6 .
−3 −6 5
Exerie 27
Soit n > 1 un entier.
Quelles sont les matrices nilpotentes A ∈ Mn (R) vérifiant :
A · AT = AT · A
?
Exerie 28
Soit A une matrice symétrique réelle et non nulle.
1. Montrer la formule :
(Tr(A))2
6 Rg(A).
Tr(A2 )
2. Étudier le cas d’égalité.
Exerie 23
Soient λ un nombre réel et n ∈ N∗ . On pose A la matrice de terme Exerie 29
générique ai,j = λi+j−1 , pour i et j entre 1 et n.
Soit n ∈ N∗ . On pose la matrice A = (min{i, j})16i,j6n ∈
1. Calculer le rang de A.
Mn (R).
3
1. (a) Montrer qu’il existe une unique décomposition S =
O T , avec O orthogonale et T triangulaire supérieure
à diagonale strictement positive.
1. Trouver une matrice triangulaire inférieure U telle que A =
U · UT .
2. Montrer que A est inversible et calculer A−1 .
3. En déduire que les valeurs propres de A−1 sont dans ]0, 4[.
(b) Montrer qu’il existe une unique matrice triangulaire supérieure T à coefficients diagonaux > 0 telle que S =
T T T . [Décomposition de Cholesky]
Exerie 30
2. [Inégalité de Hadamard]
Soient A = (ai,j )16i,j6n et B = (bi,j )16i,j6n deux matrices
symétriques réelles telles que :
(a) Déduire de la décomposition de Cholesky l’inégalité
n
Q
si,i .
det(S) 6
∀X ∈ Mn,1(R) \ {0}, X T AX > 0 et X T BX > 0.
i=1
1. Montrer qu’il existe deux matrices inversibles P et Q dans
GLn (R) telles que :
(b) Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (R). Montrer que
v
uY
n
u n X
t
|det(A)| 6
a2i,j .
A = P T P et B = QT Q.
j=1 i=1
2. On pose C = (ai,j × bi,j )16i,j6n. Montrer que pour tout
X ∈ Mn,1(R), X T CX > 0.
Exerie 31
Soit A une matrice symétrique réelle telle que Sp(A) ⊂ [0, +∞[.
1. Soit P (X) ∈ R[X]. Montrer qu’il existe P (X) ∈ R[X]
tel que P 2 (A) = A.
2. Déterminer
unpolynôme P (X) convenable lorsque A =

2 1 2
 1 2 2 .
2 2 3
Endomorphismes orthogonaux
Exerie 32 (⋆)
Soit A = (aij )16i,j6n dans On (R).
1. Montrer que
n
X
i,j=1
√
|aij | 6 n n.
n
X
2. Montrer que aij 6 n.
i,j=1
3. Que dire si on a égalité dans l’une ou l’autre des questions ?
Exerie 33 
8 −1
1
−1 8
On pose A =
p
4
⋆
⋆
⋆
⋆

.
1. Trouver p > 0 puis compléter toutes les étoiles de telle sorte
que la matrice A obtenue soit dans SO(3), l’ensemble des matrices orthogonales à déterminant égal à 1.
2. Caractériser alors complètement la transformation associée à
A.
Exerie 34 (⋆)
Soit S = (si,j ) ∈ Mn (R) une matrice symétrique définie positive (ce qu’on note S ∈ Sn++ (R)).
4
Auteur
Документ
Catégorie
Без категории
Affichages
0
Taille du fichier
105 Кб
Étiquettes
1/--Pages
signaler