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4. L`Estimation Statistique

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4. L'Estimation Statistique
On note m et s, respectivement la moyenne et l’écart-type d’un échantillon de taille n prélevée dans une population infinie
de moyenne μ et d’écart-type σ.
On note M et S, les variables aléatoires moyenne et écart-type d’un n-échantillon, dont m et s sont respectivement des
réalisations.
Inférence statistique
C'est porter un jugement sur une population à partir d'un échantillon prélevé dans cette population
Estimateur
Tn (X1 , X2 , ..., Xn ) est un estimateur de θ si &(Tn ) → θ et ((Tn ) → 0 quand n → ∞.
L'estimateur est dit sans biais quand &(Tn ) = θ quelque soit n.
Estimation (ponctuelle) d'une moyenne
μ* = m est une estimation sans biais de la moyenne de la population.
Estimation (ponctuelle) d'une variance
σ*2 =
n
n-1
s2 est une estimation sans biais de la variance σ2 de la population.
Loi du khi deux
Soit U1 , U2 , ..., Uν , ν variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois .(0, 1). Alors, par définition :
U1 2 + U2 2 + ... + Uν 2 ~ χ2 (ν)
On montre alors que :
∑ni=1 (Xi -M)2
σ2
=
n S2
σ2
~ χ2 (n - 1)
Loi de Student
Soit U, U1 , U2 , ..., Uν , ν + 1 variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois . (0, 1). Alors, par définition :
U
~ 4(ν)
∑νi=1 Ui 2 ν
On montre alors que :
M-μ
S
~ 4(n - 1)
n-1
Intervalle de confiance d'une moyenne, l'écart-type de la population étant connu
M-μ
σ
n
~ .(0, 1) ⟹ m - uα/2
σ
n
< μ < m + uα/2
σ
n
, uα/2 lu dans la table de la loi normale centrée réduite.
Intervalle de confiance d'une moyenne, l’écart-type de la population étant inconnu
M-μ
S
n-1
~ 4(n - 1) ⟹ m - tα/2
s
n-1
< μ < m + tα/2
s
n-1
, tα/2 lu dans la table de Student de degré (n - 1).
Intervalle de confiance de la variance d'une population
n S2
σ2
~ χ2 (n - 1) ⟹
n S2
χ22
< σ2 <
n S2
,
χ21
χ21 et χ22 lus dans la table du χ2 (n - 1) degrés de liberté.
Vraisemblance d’un paramètre θ au vu d’un échantillon x1 , x2 , …, xn
L(x1 , x2 , …, xn ;θ) = Ln (θ) = p(x1 ;θ) ⨯ p(x2 ;θ) ⨯ ⋯ ⨯ p(xn ;θ) = ∏ni=1 p(xi ;θ)
Estimation du maximum de vraisemblance d’un paramètre θ au vu d’un échantillon x1 , x2 , …, xn
C’est la valeur de θ qui maximise la probabilité d’observer l’échantillon ou qui maximise la fonction de vraisemblance L.
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