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= ∫ = ∫

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Douala Mathematical Society : www.doualamaths.net
[2016]
Exercices corrigés : Intégration.

dx
 cos5 x

dx
On pose pour tout entier naturel n, I n   4
0 cos 2 n 1 x
Le but de cet exercice est de calculer I 
4
0
 


1. Trouver deux réels a et b tels que pour tout réel x de 0;  :
4
1
a cos x
b sin x


cos x 1  sin x 1  sin x
Déduisez –en la valeur de I 0
2n
2. En intégrant par parties, montrez que pour tout n  1 , 2nI n   2n  1 I n 1 
2
Déduisez la valeur de I
Correction
1.
1
cos x
cos x
cos x
1



 cos x 
2
2
cos x cos x 1  sin x 1  sin x 1  sin x 
1  sin x 1  sin x 
Considérons l’expression
1
1  sin x 1  sin x 
Posons X  sin x
1
1

1  sin x 1  sin x  1  X 1  X 
Décomposons
1
1  X 1  X 
1
1  X 1  X 

a
b

, où a et b sont des réels à déterminer
1 X 1 X
Déterminons a et b
1
1  X  a  1  X  b  a  1  X  b

1 X
1 X
1  X  1  X
En prenant x  1 , on a a 
1
1

1  1 2
1  X  a  1  X  b  1  X  a  b
1

1 X
1 X
1  X  1  X
En posant x  1 , on a b 
1
1
1

1  1 2
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1
2
ab
On obtient
1
1 1
1 
 

1  X 1  X  2  1  X 1  X 
On peut donc écrire
Et
[2016]
1
1 1
1 
 

1  sin x 1  sin x  2  1  sin x 1  sin x 
cos x
1  cos x
cos x 
 

1  sin x 1  sin x  2  1  sin x 1  sin x 
1
1  cos x
cos x 
 


cos x 2  1  sin x 1  sin x 
Déduisons la valeur de I 0
Conclusion

4
0
I0  

dx
1  cos x
cos x 
1 4  cos x
cos x 
4
 

dx   


dx
cos x 0 2  1  sin x 1  sin x 
2 0  1  sin x 1  sin x 



1
1
2
2 
   ln 1  sin x   ln 1  sin x   04    ln 1 
  ln 1 

2
2 
2
2



  ¨
2 2 
 2  2  1
1
   ln 

ln


     ln 2  2  ln 2  ln 2  2  ln 2 
2 
 2 
 2   2
1
1
   ln 2  2  ln 2  2   ln 2  2  ln 2  2 
 2

2

I0

 
1 2  2 
 ln
2 2  2 



 



2n
2. En intégrant par parties, montrons que 2 nI n   2n  1 I n 1 
2



dx
dx
1
1
In   4
 In   4
4

dx
2
n

1
2
n

1
2
2
2
0 cos
0 cos
x
x  cos x 0 cos x cos n1 x
1

u ( x )  tan x
u '( x )  cos 2 x


Posons 
2n  1 sin x cos 2 n 2 x

1
v ( x ) 
v '( x ) 
cos 4 n 2 x

2 n 1

cos x
2
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[2016]


sin x cos 2 n2 x sin x
 1
4
4
I n   2 n1 tan x     2n  1 

dx
0
cos 4 n2 x
cos x
 cos x
0


sin 2 x cos 2 n2 x
 1
4
  2 n1 tan x    4  2n  1 
dx
0
cos 4 n1 x
 cos x
0

 1  cos 2 x cos 2 n  2 x


 1
4
  2 n1 tan x    2n  1  4
dx
0
cos 4 n1 x
 cos x
0


 cos 2 n2 x cos 2 n x 
 1
4
  2 n1 tan x    2n  1  4 

dx
4 n 1
4 n 1 
0
cos
x
cos
x
 cos x
0




1
1
 1
4


  2 n1 tan x    2n  1  4 

dx
2
n

1
2
n

1
0
 cos x
0
 cos x cos x 




 4

1
1
 1
4
4
  2 n1 tan x    2n  1  
dx

dx

2 n 1
0 cos
0 cos 2 n 1 x
x
 cos x
0










In
I n 1



 1
4
  2 n1 tan x    2n  1  I n  I n1 
 cos x
0


1
4
On obtient finalement I n  
tan x    2n  1  I n  I n1 
2 n 1
 cos x
0

1

4
In  
tan
x
  2n  1 I n   2n  1 I n1
2 n 1

cos
x

0

1

4
I n   2n  1 I n   2n  1 I n 1  
tan
x
2 n 1

 cos x
0
Soit

1

4
2 nI n   2n  1 I n 1  
tan
x
2 n 1

 cos x
0

1

4
tan
x
Calculons 
2 n 1

 cos x
0

1
1

1
1

1

4
tan
x
tan 
tan 0 
tan 
2 n 1
 cos 2 n1 x
 


4 cos 0
4 cos 2 n 1 
0
cos 2 n1
cos 2 n 1
4
4
4
3
Douala Mathematical Society : www.doualamaths.net
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1
cos
2 n 1

1

 2


 2 
4
2 n 1
 2 


 2
2 n 1

 
2 n 1
2

 2
2n
2



[2016]
n
2
2 
n
  2
2
2
 
2n
Conclusion : 2 nI n   2n  1 I n 1 
 
2

Déduisons : I 
dx
 I5
cos 2 n 1 x
4
0

La relation (*) est une relation de récurrence entre les termes.
Nous allons calculer les termes successifs jusqu'au 6 ieme terme
2
1
 I 0  2  I1  I 0  2
2
2






2 I1  I 0 






2 2
2 2
11
1
2
I1 
ln
 2   ln

 4
2 2
2
2 2
2 2


22
1
4 I 2  3 I1 
 3 I1  2 2  I 2  3 I 1  2 2
4
2














2 2
2 2
1 3
3 2
1 3
7 2

I2 
ln

2 2 
ln

 4 4
4 4
2
2 
2 2
2 2




I2 




2 2
3
7 2
ln

16
8
2 2
6 I3  5I 2 
8
1
 I3  5I 2  4 2
6
2














2 2
2 2
1
1  15
35 2
1
15
67
2

I3  5I 2  4 2 
ln

 4 2    ln




6
6  16
8
6
16
8
2 2
2 2





4

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I3 


[2016]


2 2
15
67 2
ln

96
48
2 2
42
1
8I 4  7 I3 
 7 I3  8 2  I 4  7 I3  8 2
8
2














2 2
2 2
1  105
469 2
1
105
853
2

I4 
ln

8 2  
ln




8  96
48
8
96
48
2 2
2 2








2 2
105
853 2
I4 
ln

768
384
2 2
25
1
10 I 5  9 I 4 
 I5 
9 I 4  16 2
10
2








2 2
1
1  945
7767 2
I5 
9 I 4  16 2 
ln

 16 2 

10
10  768
384
2 2








2  2 13911 2
945
I5 
ln

7680
3840
2 2
Par :
Nkeuna Ngueliako georges
PLEG – Informaticien
Lycée Bilingue de Nylon Brazzaville Douala Cameroun
5
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