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1 q

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Douala Mathematical Society : www.doualamaths.net
[2016]
Exercices corrigés.
u1  1; u2  3
un2  2un1  un
La suite  un  est définie par : 
Exprimez un en fonction de n
Résolution
Quelques précisions
Une telle suite est dite suite définie par une récurrence double. Il s’agit d’une relation de
récurrence liant un terme à ses deux prédécesseurs. Pour une récurrence double, on a toujours
besoin des deux premiers termes.
Chaque terme se calcule à partir de ses deux prédécesseurs.
Propriété
L’ensemble des suites définies par une telle formule de récurrence est un sous espace vectoriel
de l’espace vectoriel des suites numériques. Ce sous espace vectoriel est engendré par deux
suites géométriques.
Pour faire simple, une suite définie par une formule de récurrence double de la forme
un 2  aun1  bun aura toujours comme formule explicite un   q1n   q2n
  et  sont deux nombres réels ou complexes calculés à partir des deux termes de la suite
connus.
 q1 et q2 sont deux nombres réels ou complexes calculés à partir de la formule de
récurence.
De façon pratique.
Exemple 1
Supposons que  un  est une suite géométrique, de raison q
un 2  2un1  un  q n 2  2q n1  q n
En divisant par on obtient q 2  2q  1
Soit q 2  2q  1  0 . Cette équation admet une solution double q  1
Etant donné que les deux raison valent 1, notre suite est arithmétique, de la forme un  an  b
Déterminons a et b à partir des deux premier termes de la suite.
u0  1  1  a  b  1  a  b  1
u2  3  2  a  b  3
1
Douala Mathematical Society : www.doualamaths.net
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[2016]
a  b  1
 2a  b  3
Finalement on obtient le système 
La formule explicite de la suite est donc : un  2n  1
La simulation ci – dessous sous Excel montre bien que la formule explicite est exacte.
n
un  2n  1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
un 2  2un1  un
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
Exemple 1
u1  4; u2  2
un2  5un1  6un
La suite est définie par 
Comme précédemment, si on suppose que la suite  un  est géométrique, on a q 2  5q  6
Soit q 2  5q  6  0
Les racines de l’équation sont donc 2 et 3.
La formule explicite de la suite est donc : un  a  2n  b  3n a et b à déterminer en fonction des
deux termes donnés.
Déterminons a et b
On a u1  4  2a  3b  4 et u2  2  4a  9b  2
2
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[2016]
2a  3b  4
4a  9b  2
On obtient le système 
La résolution du système donne a=5 et b=-2
Finalement, la formule explicite de la suite est : un  5  2n  2  3n
n
recurrence
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
4
2
-14
-82
-326
-1138
-3734
-11842
-36806
-112978
-344054
-1042402
-3147686
-9484018
-28533974
-85765762
-257624966
-773530258
-2321901494
-6968325922
explicite
4
2
-14
-82
-326
-1138
-3734
-11842
-36806
-112978
-344054
-1042402
-3147686
-9484018
-28533974
-85765762
-257624966
-773530258
-2321901494
-6968325922
Par :
Nkeuna Ngueliako Georges
PLEG – Informaticien
Lycée Bilingue de Nylon Brazzaville Douala - Cameroun
3
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