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4) exercices

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phénomènes d'induction
1) Ecrire le champ électromoteur et la f.e.m. induite dans les cas suivants :
rails de Laplace
roue de Barlow
bobine de haut-parleur
2) La barre AB est soumise à l'action de ressorts de raideur k. Ecrire l'équation électrique et
l'équation mécanique du système. En déduire l'équation du mouvement.
Faire un bilan d'énergie.
U
R
A
r
B
r
ve
B
3) Principe d'un alternateur
Une spire circulaire tourne autour d'un de ses diamètres à la vitesse angulaire ω. Sa
résistance est R et on néglige L. Elle se trouve dans un champ B uniforme
perpendiculaire à l'axe de rotation.
Calculer la f.e.m. induite, le couple à appliquer pour maintenir la vitesse constante, et
les puissances mises en jeu.Vérifier la conservation de l'énergie.
4) Courants de Foucault dans un noyau massif
Un cylindre d'aluminium de rayon R est le siège d'un champ B = Bo 2 cos(ωt ) de
même axe Oz. Sa conductivité est γ .En décomposant le cylindre en "spires
élémentaires", calculer la puissance des courants induits.
On prend maintenant n² cylindres de rayon R/n . Calculer la nouvelle puissance.
Conclure.
B
Oz
5) On considère le circuit rectangulaire mobile placé dans un champ B uniforme sinusoïdal
dirigé suivant Oz. Il peut osciller autour de Ox.
Calculer la f.e.m. induite lorsque le circuit est fixe
Calculer la f.e.m. induite à un instant donné, B étant supposé constant.
En déduire la f.e.m. résultante.
Oz
Oz
Ox
Oy
Ox
θ
___________________________
régimes quasi-stationnaires
1) courants de Foucault dans un conducteur massif
(on négligera le champ magnétique créé par les courants induits)
un cylindre de matériau non magnétique ( rayon a, hauteur h, conductivité γ) est soumis à un champ
Bo 2 cos(ωt )
parallèle à l'axe du cylindre. On rappelle qu'un potentiel vecteur associé à un champ
uniforme, peut s'écrire
r 1 r v
r
A = B ∧ r ; calculer le champ électromoteur E m
2
en un point du cylindre, en
déduire la puissance volumique instantanée cédée aux charges, et la puissance moyenne dissipée dans tout
le volume du conducteur.
On remplace ce cylindre par n² cylindres de rayon a/n. Calculer la nouvelle puissance; conclure.
2) haut-parleur électrodynamique
on schématise un haut-parleur électrodynamique par une plaque de masse
m soumise à une force de frottement -fv, et une force de rappel -kx. Cette
plaque est solidaire d'un mandrin sur lequel est bobiné un fil de longueur l ,
parcouru par un courant i; sa résistance est R, son inductance est L.La
r
B radial. Le courant est fourni par un
générateur de f.e.m. e = U 2 cos(ωt ) , placé en série avec un
bobine est traversée par un champ
condensateur C.
On associera aux grandeurs x(t), v(t), e(t), i(t) les grandeurs
complexes
x, v, e, i .
a) écrire les équations différentielles électrique et mécanique.
Montrer que i peut s'écrire
exprimer
Ze
b) on pose
et
Zm
Zc =
i=
S
e
B ²l²
Ze +
Zm
e
N
et donner leur signification.
B ²l²
= RC + jX C . Calculer RC et X C . Pour
Zm
quelle valeur de ω a-t-on
ZC
C
S
maximum ?
3) un cadre rectangulaire de masse m, et de résistance R tombe dans un champ B uniforme si z<0 et n
ul si z>0. Ecrire les équations électrique et mécanique, déterminer le mouvement du cadre, et faire un bilan
énergétique.
z
position du cadre à t=0 :
r
g
_______________________
Etude d'un ralentisseur électromagnétique.
Le référentiel R du laboratoire est muni d'un repère orthonormé fixe O, i j , k ,.
On considère un cylindre de rayon a et d'axe ∆ passant par O et parallèle à k , constitué d'un matériau
conducteur de conductivité électrique σ.
Le cylindre est en rotation autour de ∆ avec la vitesse angulaire ω=ω.k .
Une partie de longueur L du cylindre baigne dans un champ magnétique uniforme et indépendant du
temps : B=B.i .
On néglige les effets de bord de la partie de longueur L
Le champ électromoteur motionnel en un point M du cylindre est E m = v∧B , v étant la vitesse du point
M dans le référentiel du laboratoire.
1) Exprimer le champ électromoteur motionnel E m en un point M du cylindre, dans la base
cylindrique er , eθ , k en fonction des coordonnées cylindriques r, θ et z..
2) On admet que la loi d'Ohm locale s'écrit j=σ.E m . Décrire les lignes de courant dans la portion de
cylindre de longueur L.
On ne s'occupera pas de la façon dont les lignes de courants se referment dans le reste du cylindre.
3) Calculer l'intensité du courant électrique dans la portion L de cylindre. On pourra exploiter
utilement la topographie de j .
4) Calculer les éléments de réduction au point O du torseur des actions électromagnétiques qui
s'exercent sur le cylindre. Interpréter physiquement les résultats obtenus.
5) Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans la portion de cylindre.
Calculer aussi la puissance des actions électromagnétiques subies.
Comparer ces deux puissances et commenter.
r
r
v
θ
r
r
i
r
B
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