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1 séries définies explicitement 2 séries abstraites

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SÉRIES
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
1
SÉRIES
DÉFINIES EXPLICITEMENT
3) En déduire que la suite
Z
nπ
0
1
1)
4)
6)
8)
10)
12)
14)
16)
Étudier
séries suivantes : X
X 1 la nature desX
p
n
.
3)
e− n .
.
2)
p
n
n
2 +n
n n
X n2 ln n
X
1
.
.
5)
1
4n
n2 + 1 sin p
n
X n n2
X n!3
.
.
7)
n+1
(3n)!
X
n
X
a
1
.
9)
(a ∈ R).
(ln n)ln n
1 + a2n
X
X 1
1
.
.
11)
(ln n)n
ln n2 + 1
n
X 1 Y
X
Š
€ p
13)
sin π 4n2 + 1 .
ln k.
n! k=2
π
X Z n sin x
X
n 1
dx.
cos α (α > 0). 15)
n
1+ x
0
π
X Z 2n
X n!2
.
e x tan x dx.
17)
2n2
0
1)
3)
5)
7)
6
1) Soit P ∈ R[X ]. Montrer que la série
Soient α, β ∈ R. On s’intéresse à la nature de la série
7 X
1
, qu’on appelle une série de Bertrand.
α
n (ln n)β
On suppose α > 1. Trouverun réel
1)
‹ γ>1
1
1
pour lequel :
= O γ . Conclunα (ln n)β n→+∞
n
sion ?
On suppose α < 1. Trouver
un réel
2)
‹ γ<1

1
1
. Conclupour lequel :
= O α
nγ n→+∞
n (ln n)β
sion ?
X
1
Déterminer la nature de la série
3)
n(ln n)β
pour tout β ∈ R grâce à une comparaison sérieintégrale.
Énoncer une condition nécessaire et suffi4)
sante de convergence des séries de Bertrand.
————————————–
Soit α ∈ R. On pose pour tout n ∈ N∗ :
8
Justifier la convergence des séries suivantes et calculer
leurs sommes.
X
X n
1
1)
.
2)
.
n(n + 1)
7n
X
1
.
3)
(3n + 1)(3n + 4)
X (−1)n
4)
.
n(n + 1)
n(n+1)
2
(−1)
un =
nα
4
n!en
.
1
nn+ 2
Montrer, sans utiliser la formule de Stirling, que la suite
(an )n∈N∗ est convergente.
————————————–
2
————————————–
5
1) Justifier l’existence de
Z
nπ
0
nπ
0
SÉRIES
ABSTRAITES
X
Soit (un )n∈N ∈ RN . La série
u2n converge-t9
elle :
X
1) si la série
u converge ?
X n
2) si la série
un converge absolument ?
sin t
dt pour tout
t
n ∈ N.
2) Trouver une suite (un )n∈N positive simple telle
que pour tout n ∈ N∗ :
Z
.
X
1) Étudier la convergence de la série
un dans le
cas où α ¶ 0 ou α > 1.
2) On suppose à présent que 0 < α ¶ 1 et pour tout
n ∈ N∗ , on pose : vn =X
u2n−1 + u2n .
a) Montrer que la série
vn converge.
X
a) En déduire la nature de la série
un .
————————————–
an = ln
X P(n)
n!
————————————–
Étudier
des
:
‹ séries suivantes
X la nature
X
p
(−1)n
1
ln 1 +
.
2)
(−1)n n sin .
n
n
X (−1)n
X (−1)n (ln n)2
.
4)
.
p
p
n
n
n!
X
X (−1)n
€ p
Š
2+1 .
.
6)
sin
π
n
2
n 3 + sin(n)
(−1)n
(α ∈ R∗ ).
nα + (−1)n
Pour tout n ∈ N∗ , on pose :
converge.
n∈N
converge. On notera S(P) sa somme.
+∞
X 1
= e. On pose L0 = 1 et
2) On rappelle que
n!
n=0
pour tout k ∈ N∗ : L k = X (X −1) . . . (X − p+1).
Calculer S(L k ) pour tout k ∈ N.
3) Calculer S X 3 .
————————————–
3
————————————–
————————————–
2
sin t
dt
t
————————————–
n−1
X
sin t
dt =
(−1)k uk .
t
k=0
10
1
Soit (un )n∈N ∈ RN .
1) On suppose
(uX
n )n∈N positive. Montrer que les séX
un
ries
un et
ont même nature.
1 + un
SÉRIES
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
X
X
2) On suppose que les séries
un et
u2n convergent.
X u
n
Montrer que la série
converge.
1 + un
b) Montrer que pour tout x ∈ R :
1 − cos(2x)
.
2
X sin(nθ )
et
c) Étudier la nature des séries
nα
X cos(nθ )
.
nα
| sin x| ¾
————————————–
11
N
Soient (un )X
n∈N , (vn )n∈N
X ∈ R positives. On suppose que les séries
un et
vn convergent.
X
1) a) Montrer que la série
un vn converge.
b) Et sans l’hypothèse de positivité ?
Xp
X pu
n
.
un vn et
2) Étudier la nature des séries
n
————————————–
15
————————————–
12
Soit (un )n∈N ∈ RN décroissante.
X
1) On suppose que la série
u converge. Mon n‹
1
trer qu’alors : un = o
.
n→+∞
n
2) La réciproque est-elle vraie ?
————————————–
13
1) Soit (un )n∈N ∈ RN strictement positive. On suppose que pour un certain α > 1 :
 ‹
un+1
1
α
.
= 1− +o
un n→+∞
n
n
a) Montrer que pour tout β < α, la suite nβ un n∈N
est décroissante à partir d’un
X certain rang.
b) En déduire que la série
un converge —
c’est la règle de Raabe-Duhamel.
X 2n‹ 1
2) Étudier la nature de la série
sans
n 22n n
utiliser les formules de Wallis et Stirling.
————————————–
16
————————————–
14
k=0
(un )n∈N est décroissante de limite nulle et (Vn )n∈N
bornée.
a) Montrer que pour tout n ∈ N :
k=0
uk vk = un Vn −
n−1
X
k=0
Soit (un )n∈N ∈ RN positive de limite nulle.
n
X
On pose, pour tout n ∈ N : Un =
uk et on supk=0
pose la suite Un − nun n∈N bornée par un certain M en
valeur absolue.
1) Montrer que pour tout n ¾ 2 :
‹

Un−1
Un 1
1
.
−
−
¶
M
n−1
n n−1 n
X
2) En déduire que la série
un converge.
————————————–
1) Soient (un )n∈N ∈ RN et (vn )n∈N ∈ CN . On pose,
n
X
pour tout n ∈ N : Vn =
vk . On suppose
n
X
1) Soit (un )n∈N ∈ RNX
positive X
décroissante. Montrer que les séries
un et
2n u2n ont même
nature. Ce résultat est parfois appelé le critère de
condensation.
2) Redémontrer le théorème de convergence des
séries de Riemann.
3) Montrer que pour tous β ∈ R, la série de BerX
1
converge si et seulement si
trand
n(ln n)β
β > 1.
(uk+1 − uk )Vk .
De quel résultat bien connu cette relation estelle l’analogue ?
X
b) En déduire que la série
un vn converge —
c’est la règle d’Abel.
X
2) Soit (un )n∈N ∈ CN . On suppose que la série
un
converge.
Montrer que pour tout α > 0, la série
Xu
n
converge
aussi.
nα
3) Soient θ ∈ R et α > 0.
X einθ X sin(nθ )
,
a) Étudier la nature des séries
nα
nα
X cos(nθ )
.
et
nα
2
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