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bases de calcul - Franck MADIGOU

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Chapitre 0 : bases de calcul
1. Introduction
Une des principales difficultés pour les élèves qui passent du lycée à la ECE est de ne plus avoir droit à la calculatrice, ce
qui est d’autant plus gênant que les calculs qui apparaissent lors des épreuves sont bien plus techniques et que le nombre
de formules à connaître est bien plus important.
Il est nécessaire de travailler sur le calcul dès que possible pour les raisons suivantes :
⋆ le programme en prépa est chargé et vous n’aurez pas assez de temps pour vous consacrer pleinement à ce sujet
pendant l’année scolaire.
⋆ sans trvail de fond un élève traîne ses faiblesses en calcul toute l’année. Cela lui fait parfois penser qu’il n’a pas
compris un nouveau concept exposé en classe alors que « seule » la partie calcul lui a posé problème. De plus, cela
freine considérablement les progrès à l’écrit. Beaucoup d’élèves sérieux, connaissant leurs formules par cœur, ayant
travaillé leur méthode mais chutant sur la plupart des calculs basiques, ont des notes basses, ce qui peut décourager.
⋆ inversement, une bonne aisance en calcul vous rendra serein pendant les épreuves, beaucoup plus à l’aise pour comprendre le cours et vous focaliser sur les nouveaux concepts. Cela vous aidera aussi à mieux comprendre quelles sont
vos difficultés et sur quoi travailler.
Il est très nécessaire de travailler sur l’apprentissage des formules dès que possible pour les raisons suivantes :
⋆ les points faciles à prendre sont sur les questions de cours, pour lesquelles il faut utiliser une formule. Si on veut
prendre des points à l’écrit, autant commencer par les points faciles !
⋆ il y aura beaucoup de formules nouvelles à connaître. Autant démarrer l’année en connaissant celles vues au lycée
pour s’éviter d’avoir le double de travail et pour améliorer votre compréhension du cours.
Si je fais le bilan de mes deux années d’enseignant en ECE1, les problèmes de formules concernent la moitié des élèves et
ceux en calcul la quasi totalité. Á des degrés différents, bien sûr.
Cette introduction n’est pas du tout écrite pour vous décourager, au contraire !
Prenez conscience de vos éventuelles difficultés le plus tôt possible, et travaillez dessus, c’est le meilleur moyen de réussir.
Une série de rappels accompagnés d’exercices va suivre. Les résultats et la correction seront mis en ligne sur mon site vers
le 20 août, pour vous laisser du temps et vous permettre de vous évaluer avant le stage HEC. A la fin de ce document, une
grille d’évaluation est proposée, à remplir vous même, puis à me renvoyer, par mail de préférence. Si vous voulez, vous
pourrez également l’utiliser durant le stage HEC.
Le seul objectif est de mieux connaître votre niveau, le plus vite possible (ce qu’il est difficile de faire en classe avec un
effectif chargé)
Par conséquent, personne ne sera pénalisé parce qu’il a fait beaucoup d’erreurs, ni parce qu’il n’a pas tout fait pour la
rentrée, ni même parce qu’il n’a rien rendu. Honnêtement, je préfère un élève qui me dit franchement qu’il a profité de son
été et qui me rend un travail personnel quelques jours après la rentrée plutôt que quelqu’un qui rend un travail en se faisant
aider ou en copiant, ce qui ne me permet pas de l’aider efficacement par la suite.
Il est également très important que vous notiez bien le temps passé sur chaque exemple et que vous ne dépassiez pas trop
le temps maximal indiqué dans les énoncés (et noté TM ).
Enfin, tout doit, bien sûr, être fait sans calculatrice ! Bon courage.
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ECE 1 2015-2016, Chapitre 0 : bases de calcul
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2. Rappels de calculs numériques
2.1 Les quatre opérations de base
Lors des épreuves écrites, vous devrez : connaître vos tables de multiplication, savoir poser, si besoin, une addition, une
soustraction, une multiplication ou bien une division.
Exemple 1. ✎ Calculer A = 512 − 378 B = 13 × 28 et C = 4275 ÷ 5 (TM = 7 min pour les trois calculs)
2.2 Rappels sur les priorités de calcul
Par ordre décroissant de priorité, on a : les calculs dans les parenthèses (Bcertaines sont implicites), puis les puissances,
puis les multiplications et les divisions(Bcertaines sont implicites), puis les additions et les soustractions (implicite : qui
est sous-entendu et n’apparait donc pas dans l’expression à calculer).
Exemple 2. ✎ Calculer D = 13 − 13 × 4 + −52 (TM = 2 min)
2.3 Notion de termes et de facteurs
Être bien clair sur la manière de nommer les choses permet d’éviter les erreurs dans l’applications des règles de calcul.
Voici un exemple de la manière de décomposer une expression :
3xy − (2x + 5)y est constituée de deux termes (qui sont soustraits), le premier terme est composé de 3 facteurs (3, x et y),
le second de deux facteurs ((2x + 5) et y). Le facteur (2x + 5) est d’ailleurs lui même composé de deux termes, le premier
possède deux facteurs, le second un seul.
2.4 Rappels sur les fractions
Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont pas de facteurs communs (autres
que 1 et −1). On cherchera toujours à écrire les fractions sous forme irréductible.
Proposition 1.
Soient a, b, c et d quatre nombres réels. Lorsque les dénominateurs sont non nuls,
1
2
3
a
=a
1
a×c
a
=
b×c
b
a
−a
a
− =
=
b
b
−b
4
5
6
c
a×c
a
× =
b
d
b×d
1
b
a =
a
b
a
b
c
d
=
a d
×
b
c
7
8
9
b
a+b
a
+ =
d d
d
a
b
a−b
− =
d d
d
a
c
ad + bc
+ =
b
d
bd
Remarque 1. BLes parenthèses sont implicites dans les fractions ! En cas de doute, mieux vaut en ajouter autour du
numérateur et du dénominateur, ce qui permet d’éviter les erreurs dans les soustractions et les produits de fractions dont
les numérateurs et/ou les dénomiateurs sont composés de plusieurs termes additionnés ou soustraits.
2x + 5 2x − 5
10
Par exemple :
−
=
et non pas 0.
x+3
x+3
x+3
Méthode 1. Minimiser la difficulté des calculs de fractions
≀ Il faut en général commencer par simplifier chacune des fractions présentes dans le calcul et, comme on ne peut simplifier
≀
≀ que par des facteurs communs au numérateur et au dénominateur, il est nécessaire de n’avoir aucun symbole + et −
≀
≀
≀ dans la fraction, sauf éventuellement dans des facteurs entre parenthèses.
≀
≀ Lorsque plusieurs fractions sont multipliées, il faut avoir le réflexe de simplifier avant d’effectuer les produits
≀
≀
≀ Lorsqu’on additionne plusieurs fractions , n’importe quel nombre qui est multiple de chacun des dénominateurs initiaux
≀
≀ est un dénominateur commun à toutes les fractions. Afin de choisir le plus petit, on peut raisonner de tête ou dans les
≀
≀ cas plus compliqués, décomposer chacun des dénominateurs en produit de facteurs premiers. C’est mieux que de prendre
≀
≀
≀ le produit des dénominateurs (qui est un dénominateur commun, mais parfois très grand) systématiquement.
≀
≀ Ce plan s’applique aussi bien aux calculs numériques que littéraux.
≀
Exemple 3. Voici un exemple de ce qu’il ne faut pas faire, puis de ce qu’il faut faire. Bien sûr, en supposant qu’on fait
tout sans calculatrice.
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ECE 1 2015-2016, Chapitre 0 : bases de calcul
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2
1
7
×
+ .
8 14 12
Voici un élève qui, ayant souvent compté sur la calculatrice, n’optimise pas du tout ses calculs (mais ne fait aucune erreur
de calcul, donc il y a largement pire) :
1
14
1
14 × 12
1 × 112
168
112
280
7×2
+
=
+
=
+
=
+
=
.
A=
8 × 14 12
112 12
112 × 12 12 × 112
1344 1344
1344
Il reste ensuite à simplifier la fraction, si possible, ce que l’élève ne va souvent pas avoir le courage de faire, vu le temps très
conséquent qu’il a passé sur ce calcul. Au final, beaucoup de temps passé, de risque d’erreurs, et un résultat inexploitable
si on doit l’utiliser dans la suite d’un exercice.
Prenons l’expression A =
Voici un élève qui a bien lu et bien compris ce point méthode.
7
62
1
67
1
1
1
1×3
1×2
3
2
5
A= ×
+
=
+
= +
=
+
=
+
=
8 7× 6 2 12
8× 6 7 12
8 12
8 × 3 12 × 2
24 24
24
La multiplication la plus difficile effectuée est 3 × 8 donc on est relativement à l’abri des erreurs, le résultat est simplifié
donc réutilisable et le temps mis a sans doute été divisé par 10 par rapport à l’élève précédent. C’est mieux, non ?
A noter qu’en simplifiant le résultat du premier élève par 56, on arrive au même résultat.
1
1 × 12
1×8
12
8
20
1
=
+
=
+
=
, ce
Il faut en particulier réfléchir à la dernière étape. L’élève aurait pu faire +
8
12
8 × 12
12 × 8
96
96
96
qui donne le même résultat, à condition de penser à simplifier par 4, mais demande plus une multiplication plus difficile.
Cela reste faisable mais sur des exemples plus extrêmes (par exemple si les dénominateurs sont 128 et 256), il faut à tout
prix éviter de prendre systématiquement comme dénominateur commun le produit (128 × 256 = 32768) et optimiser (256
est le meilleur dénominateur commun car 256 = 2 × 128).
Si on ne trouve pas 24 de tête (c’est le meilleur dénominateur commun, car le plus petit), on procède comme indiqué à la
fin de la méthode, par décomposition :
Comme 8 = 2 × 2 × 2 (on ne peut pas décomposer davantage) et 12 = 2 × 2 × 3 (idem) , alors, le meilleur dénominateur est
2 × 2 × 2 × 3 = 24 (on copie chaque facteur, ici 2 et 3, le plus grand nombre de fois où il apparait dans les décompositions).
Exemple 4. ✎ Écrire les quantités suivantes sous la forme de fractions irréductibles :
7
2
−
2 5
4
10
15
E= − +
(TM = 12 min pour les deux calculs).
et F =
2
7
9 6 15
+
10 15
2.5 Rappels sur les puissances
Définition 1. Soit a un nombre réel non nul et n > 2 un entier.
1
1
On pose : a0 = 1, a1 = a, a−1 = , an = a × · · · × a et a−n = n .
| {z }
a
a
n fois
Proposition 2.
Pour tous nombres réels a et b, non nuls lorsque mis au dénominateur d’une fraction et n un nombre entier
a n
an
an
n−m
1 an am = an+m
2
3 (an )m = anm
4 an × bn = (ab)n
5
=
a
=
am
bn
b
6 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
7 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
8 a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Méthode 2.
≀ Quelques conseils sur les puissances
≀
≀
≀ Tant qu’on n’est pas à l’aise, il ne faut pas hésiter à revenir à la définition de ce qu’est une puissance, quitte à utiliser
≀
≀ des pointillés. Par exemple, un élève qui a bien compris les règles de simplification sur les fractions mais peine sur les
≀
5
3
≀
≀ puissances sera sans doute plus à l’aise pour simplifier 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 que 2 × 3 . Par cette démarche,
≀
≀
2×2×2×3×3
23 × 32
≀
≀ certes un peu longue, les formules vont finir par être comprises, ce qui est encore mieux que seulement les apprendre.
≀
≀ L’unique intérêt des puissances est de raccourcir l’écriture et donc de gagner du temps.
≀
≀ Afin d’appliquer les formules sans erreur, il faut également se rendre compte que celles ci concernent essentiellement des
≀
≀
≀ produits et des quotients (sauf les identités remarquables).
≀
Exemple 5. ✎
1 Écrire les quantités suivantes sous la forme 2p × 3q , où p et q sont deux entiers relatifs à déterminer. Par exemple :
24 = 23 × 31 donc p = 3 et q = 1.
3
9
3
3
(TM = 20 min en tout)
G = 43 , H = 65 , I = , J = et K =
2
8
2
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2
Simplifier au maximum : L =
2
5
1
1−
2
5
2 et M =
2
2
3 (TM = 15 min pour les deux calculs)
5
2
1−
5
2.6 Opérations sur les nombres décimaux
Méthode 3. Calculer avec des nombres décimaux
≀ Souvent les élèves ne cherchent même pas à calculer les produits comme 0, 45 × 0, 55 tellement cela leur semble difficile.
≀
≀ Pourtant, ce genre de calcul est assez fréquent en probabilité.
≀
≀
≀ Toutes les techniques nécessaires ont été vues dans les parties précédentes. On peut en effet :
≀
≀
≀
⋆ soit effectuer, en posant, le calcul 45 × 55, puis décaler la virgule de 4 crans vers la gauche (puisqu’on tient compte
≀
≀
de 2 chiffres après la virgule pour chacun des facteurs, donc 4 en tout).
≀
≀
≀
On trouve 45 × 55 = 2475 donc 0, 45 × 0, 55 = 0, 2475.
≀
≀
≀
9
55
11
9
11
99
45
≀
=
et 0, 55 =
=
donc 0, 45 × 0, 55 =
×
=
.
⋆ soit passer par les fractions : 0, 45 =
≀
100
20
100
20
20 20
400
≀
Exemple 6. ✎ Simplifier : N = 100 × 0, 3 × 0, 7 et O =
1 − 0, 45
(TM = 8 min pour les deux calculs)
0, 452
2.7 Rappels sur les racines carrées
Avec les racines carrées, on entre un peu dans le calcul littéral, puisque, sauf exception, on ne peut simplifier l’addition ou
le produit d’une racine carrée avec un nombre entier.
Définition 2. Soit a un nombre√réel positif ou nul. On appelle racine carrée de a l’unique nombre réel positif dont le
carré vaut a. On note ce nombre a.
Proposition 3.
soient a et b deux nombres réels positifs.
√ √
2
1
2
a =a
a2 = a
3
√
√ √
ab = a b
4
r
√
a
a
= √ (b 6= 0)
b
b
Remarque 2. BIl n’y a AUCUNE propriété pour les additions ou les soustractions.
√
√
√ 2
Blorsque a est strictement négatif, ( a) n’a aucun sens mais a2 en a un et on a a2 = −a (prendre un exemple avec
a = −3 pour s’en convaincre)
Exemple 7. ✎
1
2
√
Encadrer par deux entiers consécutifs le nombre 31 (méthode : encadrer 31 par deux carrés d’entiers consécutifs)
(TM = 2 min).
√ 2
Développer puis simplifier P = 3 + 2 5 .
q
q
√ 2
√ 2
Simplifier Q =
2− 5 +
3 − 5 (Bne surtout pas développer mais bien réfléchir à un point de la remarque
précédente) (TM = 12 min pour les deux calculs).
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4/8
3. Quelques rappels de calcul littéral
3.1 Développer et factoriser
Méthode 4. Quelques conseils
≀ La première chose est déjà de savoir lorsqu’une expression est sous la forme développée ou bien factorisée (ou bien ni
≀
≀
≀ l’une ni l’autre). Certaines difficultés viennent du fait que beaucoup d’élèves font des confusions à ce niveau.
≀
≀ Par exemple, l’expression 3xe3x+1 est une forme factorisée et, qui plus est, ne peut pas être développée, car chacun de
≀
≀ ses trois facteurs est constitué d’un seul terme. Chacun des termes est séparée par un symbole ×, implicite.
≀
≀
≀ En revanche, l’expression R = x(2x + 5) − (2x + 1)(2x + 5) n’est in factorisée complètement, ni développée complètement.
≀
≀ On peut donc soit la développer, soit la factoriser.
≀
≀ En règle général, il faut éviter de développer et souvent plutôt chercher à factoriser, ce qui est bien plus utile
≀
≀
≀ pour résoudre des (in)équations via la règle du produit nul ou la règle des signes.
≀
≀ Afin de factoriser, les techniques de base sont les suivantes : facteur commun, identités remarquables et mise au même
≀
≀ dénominateur (en présence de fractions).
≀
≀
≀ Baux erreurs de signes lorsqu’on oublie les parenthèses, c’est tellement classique...
≀
Exemple 8. ✎
1
Développer R donnée ci-dessus, puis factoriser R (TM = 4 min).
2
Factoriser S = (2x + 5) − (2x + 1)(2x + 5)(x − 3) et T = 3n (2x + 5)2 − 3n+1 (2x + 5) (n est un entier) (TM = 7 min).
3.2 Résolutions d’(in)équations
Méthode 5. Quelques conseils pour les résolutions d’(in)équations
≀
1 lorsqu’on peut le faire, isoler l’inconnue (souvent impossible en présence de carrés ou d’autres puissances) pour
≀
≀
≀
résoudre l’(in)équation et connaître parfaitement(ou retrouver) le signe d’une fonction affine en fonction du signe
≀
≀
de a :
≀
≀
≀
≀
≀
≀
x
−∞
− ab
x
−∞
− ab
+∞
+∞
≀
⋆
a
>
0
:
⋆
a
<
0
:
≀
≀
signe de ax + b
−
0
+
signe de ax + b
+
0
−
≀
≀
≀
≀
≀
≀
2 une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul.
≀
≀
2x + 7
≀
Par exemple : on a
= 0 ⇐⇒ 2x + 7 = 0. Le dénominateur ne joue en général aucun rôle dans la résolution
≀
≀
4x − 8
≀
des équations du type « fraction = 0 ».
≀
≀
≀
En revanche, il est important pour savoir si la fraction est bien définie (dans l’exemple précédent, il est interdit
≀
≀
de choisir x = 2 car cette valeur donne une division par 0) et le dénominateur joue un rôle aussi important que le
≀
≀
≀
numérateur dans les inéquations du type « fraction > 0 »(d’après la règle des signes).
≀
≀
≀
3 pour les (in)équations du second degré, connaître parfaitement les factorisations, racines et signes de p(x) selon
≀
≀
les signes de ∆ et a :
≀
≀
≀
soient a, b et c trois nombres réels, avec a 6= 0. Le discriminant du trinôme p(x) = ax2 + bx + c est le nombre
≀
≀
∆ = b2 − 4ac.
≀
n
√
√ o
≀
≀
∆ −b− ∆
⋆ si ∆ > 0, deux racines : −b+
;
. Factorisation : p(x) = a(x − x1 )(x − x2 ). signe :
≀
2a
2a
≀
≀
≀
x
−∞
x1
x2
+∞
≀
≀
≀
2
≀
ax + bx + c
signe de a 0 signe de −a 0 signe de a
≀
≀
−b ≀
≀
⋆ si ∆ = 0, une racine : S =
= a(x − x0 )2 . signe :
2a . Factorisation : p(x)
≀
≀
≀
x
−∞
x0
+∞
≀
≀
≀
ax2 + bx + c
signe de a 0 signe de a
≀
≀
≀
≀
⋆ si ∆ < 0, le trinôme n’a pas de racine réelle et pas de factorisation dans R. signe :
≀
≀
≀
x
−∞
+∞
≀
≀
≀
≀
ax2 + bx + c
signe de a
≀
≀
≀
4 chercher à se ramener à une (in)équation produit-nul dans les cas plus compliqués et la résoudre par la règle
≀
≀
≀
du produit-nul ou par la règle des signes. Dans ces cas, toujours chercher en priorité à factoriser plutôt qu’à
≀
≀
développer. Séparer, si possible, les différentes étapes de la résolution des équivalences (symbole ⇐⇒ ) lorsque
≀
≀
≀
c’est possible (nous reviendrons sur ce point pour ceux qui n’ont pas pris cette habitude au lycée).
≀
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5/8
Exemple 9. Par exemple, pour x 6= 2, on a :
2x + 7
2x + 7
2x + 7 4x − 8
2x + 7 − (4x − 8)
−2x + 15
> 1 ⇐⇒
− 1 > 0 ⇐⇒
−
> 0 ⇐⇒
> 0 ⇐⇒
>0
4x − 8
4x − 8
4x − 8 4x − 8
4x − 8
4x − 8
Commentaires :
⋆ on ne peut pas ici multiplier des deux côtés de l’inégalité par 4x − 8 car le signe de ce terme dépend de la valeur
de x. Or multiplier par un nombre négatif fait changer le sens d’une inégalité. Si on résolvait l’équation
correspondante, on pourrait le faire, ce qui permettrait d’obtenir 2x − 7 = 4x − 8 puis d’isoler facilement l’inconnue.
C’est pourquoi il est en général plus difficile de résoudre des inéquations que des équations.
⋆ attention à ne pas oublier les parenthèses (implicites) lors de la soustration consécutive à la mise au même dénominateur afin de ne pas faire d’erreur de signe.
⋆ après la dernière étape, il reste à résoudre l’inéquation en dressant un tableau de signe (c’est la raison pour laquelle
on passe tous les termes d’un côté et on factorise l’expression à gauche),
nécessite de maîtriser les signes de
ce qui
15
(la valeur 2, interdite, est donc exclue
fonctions affines. Vous pourrez vérifier que l’ensemble des solutions est : 2;
2
de cet ensemble).
Bne pas confondre les symboles = (qui séparent deux nombres ou expressions littérales) et ⇐⇒ qui séparent deux
égalités ou inégalités.
Exemple 10. ✎
1
Résoudre les équation suivantes (TM = 40 min) :
(a)
(b)
(c)
(d)
2
2x − 3 = −x + 7
0, 4x + 3 = x
x2 + 5x − 6 = 0
(x + 3)(2x − 5)(6x + 2) = 0
(e) (2x − 1)(x2 + x + 1) = 0
(f) (x + 2)2 − (3x + 4)2 = 0
(g) (x2 − 4x − 1)2 = (x2 + 4x − 1)2
(h)
2
3
=
x−4
x+1
(i)
2x + 1
=2
x−3
Résoudre les inéquations correspondant aux équations précédentes en remplaçant le symbole = par > (TM = 50 min).
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6/8
3.3 Dérivation
Méthode 6.
≀ Les calculs de dérivées font la différence entre les candidats aux concours. Il y en a systématiquement et ce sont des
≀
≀
≀ points facilement pris si on a bien travaillé sur cet aspect. Au niveau de la méthode pour le calcul, il faut :
≀
≀
≀
1 Bien repérer comment est construite la fonction à dériver : a-t-on affaire à un produit, un quotient, etc... ? Il y a
≀
≀
x ln(x)
≀
est un quotient et le
parfois plusieurs opérations imbriquées. Par exemple, la fonction f définie par f (x) = 2
≀
≀
x +1
≀
numérateur est un produit. Il faudra donc appliquer les formules de dérivation d’un quotient et d’un produit ici.
≀
≀
≀
2 Appliquer ensuite la ou les formules appropriées, qui sont bien sûr à connaître par cœur.
≀
≀
≀
≀
≀
⋆ Opérations sur les dérivées :
⋆ Dérivées des fonctions de base usuelles :
≀
≀
≀
≀
≀
≀
Fonction f Fonction dérivée f ′
Fonction f Fonction dérivée f ′
≀
≀
≀
≀
u+v
u′ + v ′
k∈R
0
≀
≀
≀
≀
uv
u′ v + v ′ u
x
1
≀
≀
≀
1
1
≀
ku (k ∈ R)
ku′
≀
− 2
≀
x
x
≀
u
u′ v − v ′ u
≀
≀
n
n−1
≀
x
(n
∈
Z)
nx
v
v2
≀
≀
≀
1
−v ′
√
1
≀
√
x
≀
v
v2
≀
2 x
≀
≀
1
≀
un (n ∈ Z)
nu′ un−1
≀
ln(x)
≀
x
≀
≀
eu
u ′ eu
≀
x
≀
e
ex
≀
≀
≀
≀
≀
≀
Il faut toujours chercher à utiliser les formules les plus simples si plusieurs sont possibles.
≀
≀
≀
Par exemple, pour dériver 3x, on n’utilise pas la formule générale du produit (deuxième ligne du second tableau)
≀
≀
mais le cas particulier du produit par une constante (deuxième ligne du second tableau). Il est en effet plus simple
≀
≀
de calculer 3 × 1 = 3 que 3 × 1 + 0 × x = 3, même si les deux calculs donnent heureusement la même chose.
≀
≀
x
≀
≀
De même, pour dériver , on n’utilise pas la formule générale du quotient (quatrième ligne du second tableau)
≀
3
≀
≀
mais le cas particulier du produit par une constante (deuxième ligne du second tableau).
≀
≀
1
1
1
1×3−x×0
3
1
x
≀
= 2 = .
En effet, = x donc la dérivée est × 1 = , plus simple que le calcul
≀
2
≀
3
3
3
3
3
3
3
≀
≀
3 Si le signe n’est pas évident à déterminer, travailler sur l’expression obtenue afin d’être en mesure d’étudier son
≀
≀
signe, ce qui signifie en général qu’il faut factoriser cette expression.
≀
≀
≀
1
1
1
≀
′
= 1 + 2,
Par
exemple,
la
dérivée
de
la
fonction
définie
(pour
x
=
6
0)
par
f
(x)
=
x
−
est
f
(x)
=
1
−
−
≀
2
≀
x
x
x
≀
≀
quantité qui est strictement positive de manière évidente (c’est la somme de deux termes strictement positifs) donc
≀
≀
la fonction est strictement croissante sur chaque intervalle de son ensemble de définition.
≀
≀
≀
1
1
1
′
≀
En revanche, la dérivée de la fonction définie (pour x 6= 0) par g(x) = x + est g (x) = 1 + − 2 = 1 − 2 ,
≀
x
x
x
≀
≀
≀
quantité dont le signe n’est pas évident à déterminer (car on soustrait deux termes positifs).
≀
≀
x2 − 1
≀
≀
, expression
On doit alors factoriser l’expression en mettant au même dénominateur pour obtenir g ′ (x) =
≀
x2
≀
2
≀
qui est du signe de x − 1 car le dénominateur est strictement positif.
≀
Exemple 11. ✎
1
Dériver les fonctions suivantes (TM = 30 min) :
1 3 x2
x +
+x
3
2
x+1
(b) g : x 7→
3
(c) h : x 7→ (2x + 3) ex
(a) f : x 7→
2
2
(d) i : x 7→ e−x
(e) j : x 7→ x ln(x)
(f) k : x 7→ (ln(x))
1
2
(g) l : x 7→ e−3x
x
2015
Mettre, si besoin, les expressions obtenues à la question précédente sous une forme qui permette d’étudier leur signe
(l’étude de signe n’est pas demandée ici) (TM = 10 min).
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Grille d’évaluation
Vous pouvez soit scanner cette page (ou la photographier) et me l’envoyer par mail (fmadigou@gmail.com)
aux alentours du début du stage HEC, ce qui me permettra de mieux connaître votre niveau dès la rentrée.
Sinon, vous pourrez aussi me donner votre évaluation en main propre à la rentrée.
Exemples
Réussite (entourer ou barrer)
1
A B C
2
D
4
E
5.1
L
6
Commentaires
F
G H I
5.2
Temps mis
J
K
M
N O
7
√
31
8
R
S
T
P
Q
10.1
a
b
c d
e
f
g h
i
10.2
a
b
c d
e
f
g h
i
11.1
a
b
c
d
e
f g
11.2
a
b
c
d
e
f g
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