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Chapitre 6 PRIMITIVES – INTEGRALES INDEFINIES

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6.1
Chapitre 6
PRIMITIVES – INTEGRALES INDEFINIES
6.0
PRIMITIVE D’UNE FONCTION
6.0.1 Définition
On a étudié le problème de la dérivation d’une fonction. Etant donné une fonction
déterminé sa fonction dérivée
, définie par
.
Le calcul intégral consiste à étudier le problème inverse. Etant donné une fonction
dont la fonction dérivée est égale à
Si la fonction
, i.e. telle que
est une primitive de la fonction
est aussi une primitive de la fonction
, trouver une fonction
.
admet pour fonction dérivée la fonction
Si la fonction
, on a
, on dit que
est une primitive de
, alors la fonction
, définie par
. En effet, on a :
.
, où
,
. Par
conséquent, si une fonction admet une primitive, elle en admet une infinité.
Théorème 1
Si
et
sont deux primitives d’une fonction
, alors leur différence est une fonction constante :
Démonstration
On considère la fonction
Or, par hypothèse,
Donc
Ainsi
Et
Définition 1
On appelle primitive (ou intégrale indéfinie) d’une fonction
définie par
, où
, et on note
est une fonction dont la dérivée est égale à
, toute fonction
et c un nombre
réel quelconque.
Remarque
Certaines fonctions n’admettent pas de primitives simples. Il en va ainsi par exemple de la fonction
.
LB, Niv 4 Sciences
6.2
6.0.2 Propriétés
Les propriétés suivantes découlent immédiatement de la définition.
1)
En effet,
2)
Différentielle de la primitive de
3)
En effet,
4)
.
.
La primitive d’une somme est égale à la somme
des primitives.
Démonstration
Par la propriété 1 ci-dessus,
.
Par ailleurs, la dérivée d’une somme est égale à la somme des dérivées :
.
Les deux membres de l’égalité figurant dans la propriété 4 ont donc la même
dérivée. Ils diffèrent donc d’une constante. C’est dans ce sens que doit être comprise
l’égalité 4.
Plus généralement :
5)
, où
. La démonstration est identique à celle de la propriété 4.
Remarque
Il résulte des propriétés 4 et 5 que l’application
, où
, est une application
linéaire.
Exemple 1
Soit à calculer
de deux manières différentes.
1)
Par la propriété 4 :
2)
En considérant la formule de dérivation d’une puissance :
On constate que
, à une constante près.
6.0.3 Table de primitives élémentaires [Voir Formulaire et Table, CRM]
1 n+1
x + c , si n ≠ −1
n +1
1)
∫x
3)
∫ cos x dx = sin x + c
5)
∫ sin
n
dx =
dx
2
x
(
2)
)
dx
∫ cos
(
)
= 1+ tan 2 x dx = tan x + c
x ∫
−u ' ( x ) dx
1
=
+c
6) ∫
u( x)
u( x)
4)
= ∫ 1+ cotan 2 x dx = cotan x + c
∫ sin x dx = − cos x + c
2
LB, Niv 4 Sciences
6.3
u ' ( x ) dx
7)
∫ 2 u( x) =
9)
∫
1
1− x 2
u( x) + c
8)
1
∫ 1+ x
2
dx = arctan x + c
dx = arcsin x + c = − arccos x + c'
…
6.1
METHODES D’INTEGRATION
6.1.1 Intégration par changement de variable
Soit à déterminer la primitive
Changement de variable
.
où
est une fonction bijective continue et dérivable.
Dérivation par rapport à la variable t des fonctions composées.
Soit,
Intégration membre à membre :
Par la propriété 3 (§1.2):
Finalement :
Pour effectuer le changement de variable
et dx par son expression
dans la primitive
. La fonction
, on remplace x par
dans
doit être continue, bijective et dérivable ; elle doit être
choisie de telle manière que l’on sache calculer la primitive obtenue après le changement de variable. On
notera
, i.e.
.
Remarque
Il est parfois préférable d’effectuer le changement de variable sous la forme
bijective, continue et dérivable
où
est une fonction
.
Applications
1) F ( x ) = ∫ sin x cos x dx
2) F ( x ) = ∫ a 2 − x 2 dx
LB, Niv 4 Sciences
6.4
6.1.2 Méthode d’intégration par parties
Soient
et
deux fonctions différentiables de la variable réelle x.
Différentielle du produit
:
Intégration membre à membre:
Propriétés 3 et 4 (§6.0.2):
Finalement :
Cette méthode peut être utilisée pour la recherche de certaines primitives, notamment lorsque la fonction à
intégrer est le produit d’une fonction algébrique et d’une fonction transcendante, ou le produit de deux
fonctions transcendantes.
Application
1) F ( x ) = ∫ x sin x dx
LB, Niv 4 Sciences
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