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chapitre 5 champs de vecteurs opérateurs divergence et rotationnel

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intro ch5
champs de vecteurs; opérateurs divergence et rotationnel
1. définitions, généralités
1.1 champ de vecteur :
r
on appelle champ de vecteurs, une région de l'espace dans laquelle existe en tout point un vecteur A( M ) ou
r
A( M , t )
exemples : champ des vitesses du vent, en
un point d'un fluide, champ de gravitation,
champ électrique, champ magnétique.
On représente quelques vecteurs pour
former une carte du champ
carte de champ
lignes de champ orientées
r
A( M ) est tangent à une ligne de champ.
r
r
r r
d l appartenant à une ligne de champ vérifie A ∧ d l = 0 et en développant le produit
1.2 lignes de champ : courbe telle que en tout point,
un élément
vectoriel, on obtient:
A y dz − A z dy = 0 , A z dx − A x dz = 0 , A x dy − A y dx = 0
on met les équations sous la forme
dx
dy
dz
=
=
Ax Ay Az
la résolution de ces équations permet d'obtenir la direction du champ de vecteurs en tout point de la région de
l'espace ; on peut également tracer ces lignes de champ au moyen de méthodes d'analyse numérique (voir
logiciel utilisé en TP)
-en coordonnées cylindriques : dr = rdθ = dz
Ar
Aθ
Az
-en coordonnées sphériques dr = rdθ = r sin θdϕ )
Ar
Aθ
Aϕ
r
r
exercice : retrouver l'équation des lignes de champ du doublet électrostatique de moment p = qau z dont le champ
s'écrit en coordonnées sphériques E r =
2 p cos θ
4 πε 0 r 3
,
Eθ =
p sin θ
4πε 0 r 3
,
Eϕ = 0
1.3 tube de champ :
définition : c'est l' ensemble des lignes de champ
s'appuyant sur un contour fermé orienté :
exemple : canalisation pour un fluide incompressible, circuit magnétique pour le champ magnétique
1.4 circulation d'un champ de vecteurs sur une courbe orientée :
définition: la circulation élémentaire est
propriété :si le champ
B
calculons:
∫
A
B
r
A( M )
r
r
dC = A( M ). d l
M2
et
C M1 M 2 =
∫
r r
A. d l
M1
est un champ de gradient, la circulation est conservative
B
r r
r
r
A.d l = grad (a ).d l = da =a ( B) − a ( A ) le résultat ne dépend pas du chemin suivi.
∫
∫
A
A
M
conséquence: sur une courbe fermée
r M
r
gr
a
d
(
a
).
d
l = ∫ da =a ( M ) − a ( M ) = 0
∫
M
M
la circulation d'un champ de gradient est nulle sur un contour fermé, elle est conservative
1
intro ch5
1.5 flux d'un champ de vecteurs à travers une surface orientée :
n
définitions préliminaires:
une surface ouverte s'appuie sur un contour fermé
(on peut passer d'une face à l'autre, sans la traverser)
surface fermée : il faut cette fois la traverser pour passer d'une face à l'autre
S
représentation d'une surface par un vecteur : soit le parallélogramme
r r
r
r
r
construit à partir de deux vecteurs V1 et V2 ; le produit vectoriel S = V1 ∧ V2
V2
définit la direction du vecteur surface associé ; il a pour norme
r
r r
S = V1 V2 sin θ , qui est l'aire du parallélogramme
V1
reprenons cette propriété pour calculer le vecteur surface d'un disque découpé en secteurs élémentaires dont
l'aire est la moitié d'un rectangle de cotés r et rdθ :
z
r
r
ici V1 = ru r
d'où :
r
S=
r
r
V2 = rdθu θ
et
r 1 r
r
r 2 dθ r
dS = ru r ∧ rdθu θ =
uz
2
2
r
dS
2π 2
∫
0
r
r dθ r
u z = πr 2 u z
2
r
et la direction du vecteur surface est
donnée par le sens de parcours du contour
rdθ
ds
on généralisera à une surface ouverte quelconque
s'appuyant sur un contour orienté :
une surface ouverte est orientée par le contour sur lequel elle s'appuie
une surface fermée est orientée vers l'extérieur par convention
z
ds
les composantes du vecteur surface sont obtenues par projection du vecteur
surface sur les plans de coordonnées :
dsy
pour un élément d'une surface quelconque, dsy représente l'aire algébrique
de la section droite du cylindre de génératrices parallèles à Oy et
s'appuyant sur ds;
c'est aussi l'aire de la surface projetée sur le plan xOz
y
x
conséquence :
le vecteur surface d'une surface fermée est le vecteur nul
car les composantes sur chaque axe s'annulent deux à deux
r v
S = 4πR² mais S = 0 !
r
exercice : calculer S pour une sphère complète , puis pour la surface
fermée constituée par une demi-sphère et sa base circulaire.
2
intro ch5
r
S1
cas de plusieurs surfaces s'appuyant sur un même contour orienté :
r
S1
r
S2
r
S 2 nc
r
S 2 ns
(C)
r
r
S1 et S 2 sont orientés par (C) et (S1)∪(S2) forme une surface fermée
r
r
r
r
r
pour la surface fermée S1 + S '2 ns = 0 mais S 2 nc = - S '2 ns car la normale "contour" est opposée à la normale
r
r
r
r
r
r
r
r
r
"sortante" donc S1 + S 2 ns = S1 − S 2 nc = 0 soit S1 = S 2 nc ou plus simplement S1 = S 2 , ces deux surfaces étant
orientées par le contour sur lequel elles s'appuient
le vecteur surface est le même pour toutes les surfaces s'appuyant sur un même contour orienté
flux d'un champ de vecteurs à travers une surface:
par définition
r
r
dΦ = A( M ). ds
et
Φ=
r
r
∫∫ A(M ).d s
(S )
propriété : un champ est dit à flux conservatif, si son flux Φ est nul à travers toute surface fermée.
r
r
r
A( M ).d s = 0 ∀ (S) fermée
si A est à flux conservatif Φ =
∫∫
(S)
conséquence : pour un champ à flux conservatif, le flux calculé à travers une surface s'appuyant sur un contour
fermé orienté, est le même, quelle que soit la surface
r
d S1
r
A
pour la surface fermée ci-contre
-avec la convention contour :
r
r
r
r
Φ1 =
A( M ).d s1 et Φ 2 =
A( M ).d s2
∫∫
∫∫
(S1 )
(S2 )
-avec la convention normale sortante :
r
r
Φ=
A( M ).d s = 0 pour (S1 ) ∪ (S 2 ) soit
∫∫
(S)
r
d S 2 nc
r
d S 2 ns
r
A
Φ=
∫∫
r
r
A( M ).d s1ns +
(S1 )
∫∫
r
r
A( M ).d s2 ns =
( S2 )
-on voit alors que Φ1 - Φ2 = 0
∫∫
r
r
A( M ).d s1nc −
(S1 )
∫∫
r
r
A( M ).d s2 nc = 0
(S 2 )
Φ1 = Φ2
soit
le flux ne dépend pas de la surface choisie pour le calculer ; on en déduit aisément que
pour un champ à flux conservatif, le flux est le même pour toute section d'un tube de champ
(Slatr)
en considérant cette fois la surface fermée formée
par ( S1)∪(Slat)∪(S2) et avec φlat =0 on voit que :
-φ1 +φ2 = 0 donc φ1 = φ2
r
n1s
exemples : champ magnétique, vecteur densité de courant, etc...
(S2)
n lat
(S1)
r
n1c
r
A
r
n 2c
(C1)
(C2)
3
intro ch5
2. divergence d'un champ de vecteurs
2.1 définition et expression en coordonnées cartésiennes
Imaginons une surface fermée qui entoure un point à partir duquel les lignes d'un
champ de vecteur "divergent " : le flux du champ de vecteur à travers cette surface sera
nécessairement non nul.
exemples :
lignes de champ à l'intérieur
"puits de fluide "
d'une sphère chargée
r
On est conduit à définir la divergence en un point par : dΦ = divA dτ
où dΦ est le flux à travers la surface qui contient le volume élémentaire
dτ
(cet opérateur a été introduit initialement en mécanique des fluides)
2.2 expression en coordonnées cartésiennes
nous allons commencer par le cas d'un champ dirigé suivant Ox et ne dépendant que de x
cherchons à calculer le flux total à travers les faces d'un cylindre élémentaire de section S et de
longueur dx :
y
r
r dx
dΦ= S E (x+dx) -S E (x)
x
x
∂E x
dx
∂x
r
∂E x
div E = dΦ/dτ = dΦ / Sdx =
∂x
E
E( x + dx )
dΦ= S(Ex(x+dx) - Ex(x) ) = S
x
z
on généralise au cas d'un champ possédant trois composantes dépendant de x,y et z, en calculant le
flux total à travers les faces d'un "pavé" élémentaire de cotés dx,dy,dz. On obtient alors :
r ∂Ax ∂Ay ∂Az
divA =
+
+
∂y
∂z
∂x
notation Nabla :
r r r
divA = ∇.A
 ∂ 
 
 ∂x 
r
 ∂  s'utilise uniquement en coordonnées cartésiennes
important :l'opérateur Nabla ∇ =
 ∂y 
 ∂ 
 
r r r  ∂z 
ux ,uy ,uz
2.3 expressions dans d'autres systèmes de coordonnées :
on raisonne de la même façon, en tenant compte des caractéristiques du champ de vecteurs:
r
r
par exemple, si A = Ar ( r ) u r , en coordonnées cylindriques,
on choisira un volume élémentaire compris entre r et r + dr
et on obtiendra
r 1 ∂ (rAr )
divA =
( voir formulaire )
r ∂r
4
r
r+dr
intro ch5
2.4 deux exemples de situations faisant intervenir la divergence d'un champ de vecteurs :
bilan de charge pour une portion de conducteur cylindrique comprise entre x et x+dx :
r
j( x )
S
r
j ( x + dx )
Ox
rappels : i =
∫∫
r r
j.d s et dq = ρdτ
(S)
x
x+dx
-calcul de la variation d²qint entre t et t+dt, de la charge comprise entre x et x+dx
à l'instant t :
dqint(t) = ρ(x,t)Sdx
à l'instant t+dt : dqint(t+dt) = ρ(x,t+dt)Sdx
d²qint = dqint(t+dt) - dqint(t) = [ρ(x,t+dt) - ρ(x,t)]Sdx = (∂ρ/∂t)xdtSdx
-cette variation d²qint est due au courant
entrant en x et au courant sortant en x+dx :
d²qint = i(x,t)dt - i(x+dx)dt = j(x,t)Sdt - j(x+dx)Sdt = -(∂j/∂x)tdxSdt
-mais -j(x,t)S + j(x+dx)S est le flux dΦ à travers
la surface fermée (normales sortantes) qui
contient le volume dτ=Sdx
la relation devient : -dΦ = (∂ρ/∂t)xSdxdt = (∂ρ/∂t)xdτdt
ou
r
dΦ/dτ = div( j )= -(∂ρ/∂t)
r
on retrouve ainsi div( j ) = -(∂ρ/∂t) (qui est la relation générale de conservation de la charge)
r
r
dans le cas particulier où j = jx ( x , t )u x elle s'écrit
(∂ρ/∂t)x= -(∂j/∂x)t
propriétés du champ électrique créé par une distribution cylindrique infinie de charges de rayon a
r ρa 2 r
r
ρr r
le champ intérieur (r ≤ a) s'écrit E =
u r et le champ extérieur (r ≥ a) s'écrit E =
ur
2ε 0
2ε 0 r
on s'intéresse à un tube de champ défini par dz et dθ :
r
E
a
r
r+dr
dτ1
ρ=cte
dθ
dz
dr
dτ2
ρa 2
ρa 2
( r + dr )dθdz −
( r )dθdz = 0
2ε 0 ( r + dr )
2ε 0 ( r )
il est nul pour une surface fermée, et c'est le même pour toute section d'un tube de champ
r
r
dΦ
on retrouve que
E ext est un champ à flux conservatif, et div ( E ext ) =
=0
dτ
r
r
r
r
r
-le flux à de E ext travers dτ2 s'écrit : dΦ = E( r + dr ).d s( r +dr ) − E( r ).d s( r ) =
r
-le flux à de E int travers dτ1 s'écrit :
r
r
r
r
ρ( r + dr )
ρr
ρdθdz
dΦ = E( r + dr ).d s( r +dr ) − E( r ).d s( r ) =
( r + dr )dθdz −
( r )dθdz =
( r + dr ) 2 − r 2
2ε 0
2ε 0
2ε 0
(
dΦ ρ
=
dτ ε 0
r
r
ρ
E int n'est pas un champ à flux conservatif, et div ( E int ) =
ε0
à l'ordre 1 il reste dΦ =
on retrouve que
)
ρdθdz
2 rdr
2ε 0
mais
rdθdz = dτ
donc
r
(on retrouverait directement ces résultats en utilisant l'expression divA =
r 1 ∂ ( rA r )
r
divA =
pour un champ porté par u r et ne dépendant que de r )
r ∂r
5
1 ∂( rA r ) 1 ∂A θ ∂A z
+
+
qui se réduit à
r ∂r
r ∂θ
∂z
intro ch5
2.5 formule de Green-Ostrogradski
décomposons le volume contenu dans une surface fermée (S) en éléments
r
d'après ce qui précède, dΦ 1 = div( A(M1 )dτ1
r
dΦ 2 = div( A(M2 )dτ 2
..
..
dτ i centrés en Mi
(S)
r
dΦ i = div( A(Mi1 )dτ i
Mi
---------------------------------
r
sommons :
∑ dΦ = ∑ div( A(M
i
i1
)dτ i
les flux à travers les faces appartenant à deux éléments adjacents s'annulent, (car les normales à ces
surfaces dirigées vers l'extérieur pour chacun des volumes conduisent à des signes opposés)
il reste donc uniquement le flux à travers la surface extérieure
r
dΦ i = ∑ div( A(Mi1 )dτ i
∑
surf .ext .
les éléments de surface et de volume étant infiniment petits, la valeur de ces sommes tend vers la
valeur des intégrales :
r 2r
A
∫∫ .d S =
surface
fermée
r 3
div
A
d τ
∫∫∫
volume
contenu
théorême : le flux d'un champ de vecteurs à travers une surface fermée quelconque est égal à
l'intégrale de la divergence de ce champ, sur le volume contenu dans la surface.
conséquence :un champ à flux conservatif est donc un champ à divergence nulle
2.6 Laplacien scalaire
cet opérateur est utilisé pour formuler certaines lois locales de l'électromagnétisme. La résolution de l'équation de
Laplace est utilisée dans de nombreux problèmes
définition si a(M) est un champ de scalaires dérivable deux fois on pose :
r
∆a = div( grad (a ))
expression en coordonnées cartésiennes : (à connaître)
∆f =
∂ ² a ∂ ²a ∂ ²a
+
+
∂x ² ∂y ² ∂z ²
ou
∆f = ∇ ² a
expression en coordonnées cylindriques :
∆f =
1 ∂ ∂a
1 ∂ ²a ∂ ²a
(r ) +
+
r ∂r ∂r
r ² ∂θ ² ∂z ²
expression en coordonnées sphériques :
1 ∂2
1
1
∂a 
∂ ²a
∂ 
∆f =
 sin θ  +
2 ( ra ) +


r ∂r
r ² sin θ ∂θ
r ² sin ²θ ∂ϕ ²
∂θ
6
intro ch5
3.rotationnel d'un champ de vecteurs
rotA
3.1 définition
ds
r
A (M) étant un champ de vecteurs dérivable au moins une fois,
sa circulation dC sur un contour élémentaire fermé orienté
r r r
peut s'écrire : dC = rotA. ds
r
où ds est la surface élémentaire s'appuyant
(C)
sur le contour, et orientée par le contour.
3.2 recherche de l'expression en coordonnées cartésiennes :
r
r
d ² s = dxdyu z centrée sur M(x,y)
∂Ax
dy
dy
cotés // à Ox : d ²C1 = Ax ( y −
)dx − Ax ( y + )dx = −
dxdy
2
2
∂y
∂ Ay
dx
dx
cotés // à Oy : d ²C2 = Ay ( x +
)dy − Ay ( x − )dy =
dxdy
2
2
∂x
prenons le cas d'une surface
Oz
y-dy/2
y
y+dy/2
x-dx/2
x
ds
x+dx/2
 ∂Ay ∂Ax 
r r r  ∂Ay ∂Ax 
r r r
−
−
 dxdy = rotA. ds donc rotA. uz = 

∂y 
∂y 
 ∂x
 ∂x
d'où d²C= 
A(y-dy/2)
A(y+dy/2)
en procédant de même avec des surfaces dydz et dxdz, on obtient :
r r  ∂Az ∂Ay  r  ∂Ax ∂Az  r  ∂Ay ∂Ax  r
u + 
u
rotA = 
−
−
−
u + 
∂z  x  ∂z
∂x  y  ∂x
∂y  z
 ∂y
3.3 expression dans d'autres systèmes de coordonnées :
exemple du champ des vitesses d'un solide en rotation à vitesse angulaire ω autour de Oz :
r
r r r
r
r
V( M ) = ωru θ = Vθ ( r ) u θ et dC = rotV.d s
Oz
r
V( r + dr )
r r
d²CAB = d²CCD = 0 car u r .u θ = 0
r
r
d²CBC= (r+dr)dθ u θ .Vθ(r+dr) u θ
r
r
d²CDA= rdθ(- u θ ).Vθ(r) u θ
posons u(r) = rVθ(r) :
d²CBC + d²CDA = [(r+dr)Vθ(r+dr) - rVθ(r) ]dθ
= [ u(r+dr) - u(r) ]dθ
∂ ( rVθ )
 ∂u 
drdθ
=  dr dθ =
∂r
 ∂r 
dθ
C
B
r+dr
D
A r
Oy
Ox
1 ∂ ( rVθ )
1 ∂ ( rVθ ) 2
r v r
rdrdθ =
d s z = rotV.d 2 s
r ∂r
r ∂r
r r 1 ∂ ( rVθ ) r
r
r
1 ∂ ( rωr )
r r
r
rotV =
uz =
u z = 2ωu z
rotV = 2ωu z
r ∂r
r ∂r
r
r
avec d s = rdθdru z il vient enfin :
on en déduit
r
V( r )
d²Ctot =
r
r
1 r r
on retrouve une définition du vecteur rotation instantanée : Ω = ωu z = rotV
2
r
Ω est uniforme pour un solide, mais dépend du point pour un fluide (vorticité)
7
intro ch5
3.4 formule de Stokes-Ampère:
pour un contour fermé quelconque (C), on réalise un "maillage" et on oriente tous les contours
élémentaires dans le même sens
r r
r
dC1 = rotA( M 1 ). ds1
r r
r
dC2 = rotA( M 2 ). ds2
or
etc..
(C)
..
..
..
___________________
r
sommons :
M1 M2 ... Mi ....
r
r
. ds
∑ dC = ∑ rotA
Mi
Mi+1
les circulations calculées sur les cotés appartenant à deux contours adjacents s'annulent, en raison
des sens de circulation opposés, il reste donc en faisant tendre les sommes vers les intégrales :
∫
r r
A. dl =
(C)
r r r
rotA
∫∫ . ds formule de Stokes-Ampère
( S )/ ( C )
cette relation sera utilisée pour exprimer localement le théorême d'ampère en magnétostatique.
4. propriétés intégrales et locales des champs de vecteurs
r
A dérivable au moins une
r fois,
r est dit :
à circulation conservative, si l'intégrale de circulation ∫ A.d l est nulle, sur un contour fermé
(C)
r r
r r r
quelconque. Le théorême de Stokes-Ampère ∫ A.d l = ∫∫ rotA.ds = 0 permet de montrer que son
un champ de vecteurs
(C)
( S ) /( C )
rotationnel est nul. C'est un champ de gradient qui dérive d'un "potentiel scalaire f, défini à une
constante près (ex: potentiel électrostatique)
à flux conservatif, si l'intégrale de flux
r 2r
A
∫∫ .d s est nulle à travers une surface fermée quelconque.
surface
fermée
Le théorême de Green-Ostrogradski
r 2r
A
∫∫ .d S =
surface
fermée
r 3
div
A
d τ = 0 permet de montrer que sa
∫∫∫
volume
contenu
divergence est nulle. C'est un champ de rotationnel, dérivant d'un "potentiel vecteur"
Le champ de vecteurs
r
V.
r
V est défini à un gradient près.(ex: potentiel vecteur magnétique)
résumons ces propriétés dans un tableau :
propriété
circulation conservative
formulation intégrale
r r
A
∫ .d l = 0, ∀(C)fermé
(C)
formulation locale
exemples :
flux conservatif
r 2r
A
∫∫ .d s = 0, ∀(S)fermée
surface
fermée
r
r r r
r
rotA = 0 (et A = gradf )
r
champ électrostatique E
r
r
r r
divA = 0 (et A = rotV )
r
champ magnétique B
force conservative
(écoulement de fluide à
potentiel de vitesse)
champ électrique dans le vide
champ des vitesses d'un fluide
incompressible en régime perm.
8
intro ch5
5 quelques formules...
5.1 formules à connaître :
attention : l'opérateur NABLA ∇ ne s'utilise qu'en coordonnées cartésiennes.
r
div ( grad f ) = ∆f
r
r
rot ( grad f ) = 0
r r
div (rotA) = 0
r
r
r r r
r
rot (rotA) = grad (divA) − ∆A
r r
ou ∇.(∇f ) = ∆f
r
r
r
ou ∇ ∧ (∇f ) = 0
r r r r
ou ∇. ∇ ∧ A = 0
r
r r
r r r
r
ou ∇ ∧ (∇ ∧ A) = ∇(∇. A) − ∆A
5.2 formules utiles (essayer de les transcrire au moyen de Nabla )
r
r
r
grad ( fg ) = f grad ( g ) + g grad ( f )
r
r
r r
div ( fV ) = f div(V ) + V . grad ( f )
r r
r r r
r r r
div ( A ∧ B) = B. rot ( A) − A. rot ( B)
r
r
r
r
r r
rot ( fV ) = grad ( f ) ∧ V + f rot (V )
5.3 autres formules
r
formule de Kelvin
r
r
∫ f ( M ) d l = − ∫∫ grad ( f ) ∧ ds
C
S
ds
où (C) est un contour fermé orienté quelconque,
et (S) la surface s'appuyant sur ce contour,
et orientée par ce contour.
r
formule du gradient
r
∫∫ f ( M ) ds = ∫∫∫ grad ( f ) dτ
S
n
V
où (S) est une surface fermée quelconque
qui contient le volume (V)
________________
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