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B x

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Douala Mathematical Society : www.doualamaths.net
[2016]
Exercices corrigés.
Décomposer les expressions rationnelles suivantes.
a)
b)
c)
d)
1
 x  1 x  2 
2x  1
 x  1 x  2  x  3
3x  5
2
 x  2   x  1
x
 x  1  x 2  x  1
Résolution
La décomposition d’une expression rationnelle
A( x)
dépend des degrés des polynômes A( x) et
B( x)
B( x)
Nous avons donc deux cas
Premier cas d  A( x)  d  B( x) : le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur
On effectue la division euclidienne de A( x) par B( x)
A( x)
B( x)
R( x) Q( x)
Dans cette division, Q( x) est le quotient, R( x) est le quotient et d  R( x)  d B( x)
On obtient A( x)  B( x)  Q( x)  R( x) et
A( x)
R( x)
 Q( x) 
B( x)
B( x)
3x 2  5x  7
Exemple : décomposer
x2
2
Effectuons la division euclidienne de 3x  5 x  7 par x  2 :
3x 2  5 x  7 x  2
29
3 x  11
Le quotient est 3 x  11 et le reste 29
On obtient : 3 x 2  5 x  7   x  2  3 x  11  29 , donc
3 x 2  5 x  7  x  2  3 x  11  29  x  2  3 x  11
29
29



 3 x  11 
x2
x2
x2
x2
x2
Finalement
3x 2  5 x  7
29
 3 x  11 
x2
x2
Deuxième cas d  A( x)  d B( x) : le degré du numérateur est inférieur au degré du
dénominateur
1
Douala Mathematical Society : www.doualamaths.net
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Dans ce cas, la décomposition de
[2016]
A( x)
dépend de la forme du numérateur, et si le dénominateur
B( x)
admet des racines ou pas.
N°
a)
b)
c)
d)
e)
Décomposition
 i est un nombre réel
Forme
1
A( x)
 x  a  x  b 
 x  a   x  b
1
A( x)
2
1
A( x)
3
 x  a  x  b
 x  a  x  b
2
A( x)
 x  a  p( x)
( p( x) , polynôme
de degré 2
n’admettant pas de
racines :   0 )
2

2

3

2

3
2

3
 x  b

4
 x  a   x  a  2  x  b 3  x  b 
1
A( x)

 x  a  x  a
 x  a  x  b
2
2

 x  a  x  a
2
1
 x  a


4
 x  b   x  b 2
x  
p ( x)
 ,  sont des réels
Exemples
2
Douala Mathematical Society : www.doualamaths.net
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[2016]
Décomposons quelques cas
Exemple 1 :
1
 x  1 x  2 
1

1

2
 x  1 x  2   x  1  x  2 
La méthode
 Pour déterminer 1 , je multiplie cette égalité par  x  1 et je prends x  1
 Pour déterminer  2 , je multiplie cette égalité par  x  2  et je prends x  2
Allons y :
 Pour 1
1
 x  1 2 , pour x  1 , on obtient   1  1
 1 
1
1 2
 x  2
 x  2
 Pour  2
1
 x  2 1   , pour x  2 , on obtient   1  1

2
2
2 1
 x  1  x  1
1
 x  1 x  2 
1
 x  1 x  2 
Exemple 2 :

1
1
1
1



 x  1  x  2   x  1  x  2 

1
1

 x  1  x  2 
2x  1
 x  1 x  2  x  3
2x  1
1
2
3



 x  1 x  2  x  3  x  1  x  2   x  3
 Pour 1
1 
2  1
1

 1  2  1  3 2
 Pour  2
2 
3
 x  1 2   x  1 3 , pour x  1 , on obtient
2x  1
 1 
 x  2  x  3
 x  2
 x  3
2x  1
 x  2 1     x  2  3 , pour x  2 , on obtient

2
 x  1 x  3  x  1
 x  3
4  1
3
3


5
 2  1 2  3 5
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 x  31   x  3 2   , pour x  3 , on obtient
2x  1

3
 x  1 x  2   x  1
 x  2
 Pour  3
3 
Exemple 3 :
[2016]
7
 3  1 3  2 

7
20
3x  5
2
 x  2   x  1
3x  5
1

2
2

 x  2   x  1  x  2   x  2 
2

3
 x  1
Pour ce cas, nous allons commencer par déterminer  2 , par le même procédé
2
3x  5
 x  2   3 pour x  2 , on obtient   3x  5  6  5  1
  x  2 1   2 
2
 x  1
 x  1
 x  1 2  1
Déterminons ensuite  3
3x  5
 x  2
2

 x  11   x  1 2   pour x  1 , on obtient   3x  5  2  2
3
2
 x  2   x  2 2 3
 x  2 1
Déterminons pour terminer 1
3x  5
1

2
1

 x  2   x  1  x  2   x  2 
1
 x  2



3x  5
2
2

2
 x  2   x  1
2 x2  6 x  4
2

2

2
2
3x  5
 x  1  2  x  2 



 x  1  x  2 2  x  1  x  2 2  x  1  x  2 2  x  1
3x  5  x  1  2 x 2  8 x  8
2  x  2  x  1
2
2
 x  1
2
1
 x  2   x  1  x  2 
3 x  5   x  1  2  x  2 

 x  2   x  1  x  2   x  1
2
 x  2   x  1


2 x2  4x  4
2

2
 x  2   x  1
4

2
 x  2   x  1  x  2   x  1
2
x2
Donc  2  2
3x  5
2 x2  6x  4
2
1
2


2
 x  2   x  2   x  1
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Exemple 4 :
[2016]
x
 x  1  x 2  x  1
D’après ce que nous avons indiqué précédemment,
x
a
x  


 x  1  x 2  x  1 x  1 x 2  x  1
Nous allons déterminer simplement les constantes
Déterminons a. Multiplions par x  1 et prenons x  1
x
 x  1 x   

a

x2  x  1
x2  x  1
Pour x = -1 on a
a  1
on a donc par
x
1
x  
x
1
x  





2
 x  1  x 2  x  1 x  1 x  x  1  x  1  x 2  x  1 x  1 x 2  x  1
x
1
x  

 2
2
 x  1  x  x  1 x  1 x  x  1
calculons :
x
1

2
 x  1  x  x  1 x  1
x
1
x
x2  x  1
x  x2  x  1




 x  1  x 2  x  1 x  1  x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1

 x  1 x  1  x  1
 x  1  x 2  x  1 x 2  x  1
Par identification     1
x
1
x 1


2
 x  1  x 2  x  1 x  1 x  x  1
Par :
Nkeuna Ngueliako georges
PLEG – Informaticien
Lycée Bilingue de Nylon Brazzaville Douala Cameroun
5
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