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1 puissances 2 inégalités 3 équations 4 inéquations

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RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
1
PUISSANCES
b) En déduire que pour tous x, y > 0 :
Simplifier pour tout n ∈ N∗ les expressions sui1
vantes :
63 × 2−5
.
1) 3n+2 −3n+1 −7×3n +5×3n−1 .
2) 2
4 × 12−4
4n 32n − 1
32 × 8n−1
3)
.
4)
.
n
n
2 3 +1
22n+2 − 4n
n
2
n+1
5 × 12
4
− (−2)2n
5)
.
6)
.
10n × 64
2n
x4
3) a) Déduire du résultat de la question 1) que pour
tous x, y, z ¾ 0 :
(x + y)( y + z)(z + x) ¾ 8x yz.
b) En déduire, après
avoir développé
le produit :
‹

1 1 1
, que pour tous
(x + y + z)
+ +
x
y z
1 1 1
9
x, y, z > 0 :
+ + ¾
.
x
y z
x + y +z
————————————–
2
y
x
1
.
+ 2
¶
2
4
+y
x +y
xy
INÉGALITÉS
————————————–
2
Soient x, y ¾ 0.p
p
p
x + y ¶ x + y.
1) Montrer que :
p
p p
2) En déduire que si x ¾
py : p x− py ¶ x − y.
3) En déduire que : x − y ¶ |x − y|.
8
1) Montrer que pour tous x, y > 0 :
y
x
+ ¾ 2.
y
x
————————————–
3
2) En déduire que pour tous a, b, c > 0 :
Soient x, y ∈ R. Déterminer, en fonction de
x, y et |x − y|, une¦expression
explicite
©
¦
© :
1) de : max x, y + min x, y ,
¦
©
¦
©
2) de : max x, y − min x, y ,
¦
©
¦
©
3) puis de : max x, y
et min x, y
a
b
c
3
+
+
¾ .
b+c c+a a+b
2
3) À quelle condition les inégalités des questions 1)
et 2) sont-elle des égalités ?
————————————–
————————————–
4
3
1) Quelle est la valeur minimale sur [1, +∞[ de la
fonction x 7−→ x 2 − x + 1 ?
2) En déduire que pour tout x ¾ 1 :
p
x+ x
¶ 3x.
x2 − x + 1
9
Résoudre les équations suivantes d’inconnue
x:
1) |4 − x| = x.
2) x 2 + x − 3 = |x|.
p
3) |x +2|+|3x −1| = 4.
4) 1 p
− 2x = |x +7|.
5) x|x| = 3x + 2.
6) x + 5 = x + 11.
p
2
7) x = 1 + x 2 − 2.
8) x + |x| = .
x
————————————–
5
ÉQUATIONS
1) Montrer que pour tout x ∈ R+ \ 1 :
————————————–
p
x + 1 (x − 2)
x 2 − 3x + 2
=
.
p
p
x + x −2
x +2
2) En déduire que pour tout x ∈ [0, 2] \ 1 :
2
x − 3x + 2 x + p x − 2 ¶ 2.
10
7
4
11
Montrer par récurrence que pour tous x ∈ [0, 1]
1
et n ∈ N : 1 − nx ¶ (1 − x)n ¶
.
1 + nx
————————————–
1) Montrer que pour tous x, y ¾ 0 :
p
xy ¶
2) a) En déduire que pour tous x, y > 0 :
Résoudre
p
pen fonction du paramètre a ∈ R
x + x + 1 = a d’inconnue x ∈ R+ .
————————————–
————————————–
6
l’équation :
INÉQUATIONS
1)
3)
5)
7)
9)
11)
x+y
.
2
Résoudre
les inéquations suivantes d’inconnue x :
x 2 − 6x + 4 ¶ 1.
2) x + 2 < |2x − 5|.
x
x +2
¶
.
4) |3x − 5| ¶ |2x + 3|.
x +1
x +3
p
|x − 1| ¶ |2x + 1| + 1.
6) x + 3 ¶ x + 5.
x +5
1
¾ 1.
8) x + ¶ |x + 4| + 3.
x2 − 1
x
x 2 − 4|x| + 3 > 0.
10) |x + 3| > x 2 − 3.
p
p
|x + 2| ¶ |x−10|.
12) x 2 − 1 < 2−x.
————————————–
x
1
.
¶
4
2
x +y
2x y
1
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