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Chapitre de 4e : Triangle rectangle et cercle circonscrit. Date

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Chapitre de 4e : Triangle rectangle et cercle circonscrit.
Référence : FE-4-004
Date :
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Feuille d’exercices FE-4-004
Exercice 4.01 : On considère les triangles rectangles suivants :
IJK est un triangle rectangle tel que :
IJ = 12 cm ;
IK = 13 cm et JK = 5 cm.
a) Pour chaque triangle, préciser quel est l’hypoténuse.
b) Pour chaque triangle, préciser où se situe le centre de son
cercle circonscrit et calculer son rayon.
Exercice 4.02 : a) Construire ce triangle
puis la médiane issue du sommet E et
celle issue du sommet F.
b) Construire son cercle circonscrit et
calculer son rayon.
Exercice 4.03 : BIEN est un rectangle de centre M.
a) Que représente le point M pour le segment [EB] ? Justifier.
b) Quel est le centre du cercle circonscrit à BIE ? Pourquoi ?
c) Pourquoi N appartient-il aussi à ce cercle ?
Exercice 4.04 : a) Tracer un triangle ART isocèle en A. On appelle S
le milieu de [RT].
b) Montrer que le triangle TAS est rectangle en S.
c) Montrer que les cercles (C1) de diamètre [AR] et (C2) de
diamètre [AT] se coupent en A et S.
Exercice 4.05 : Construire un cercle (C) de centre I et de rayon 5
cm. Placer un point P sur (C) et tracer un diamètre [MN] de (C).
Quelle est la nature du triangle MNP ? Pourquoi ?
Exercice 4.10 : Soit IBC un triangle rectangle en C et M le
milieu de [IB]. Quelle est la nature de MIC ? Justifier.
Exercice 4.11 : ABCD est un losange de centre O et de
périmètre 20 cm. I est le milieu de [AB]. Calculer OI.
Exercice 4.12 : a) Placer sur la droite (d) les points M et N
tels que AMB et
ANB soient
rectangles en M
et N. Justifier.
Exercice 4.13 :
a) Construire ces
triangles sans
utiliser
l'équerre.
b) Décrire et justifier la
construction dans chaque cas.
Exercice 4.14 : Pour chaque cas, tracer un cercle de
rayon 3 cm puis y inscrire un triangle (et expliquer les
constructions) : a) isocèle ; b) équilatéral ;
c) rectangle ; d) rectangle isocèle.
Exercice 4.15 : [AB] est un diamètre du cercle.
a) Indiquer les triangles rectangles d'hypoténuse [AB].
Citer la propriété du cours que
vous utilisez.
b) Expliquer pourquoi le triangle
APB ne peut pas être dans la liste
précédente.
Exercice 4.06 : BO = 4 cm ; OA = 6 cm ; BA = 3 cm.
a) Faire une figure en vraie grandeur.
b) Montrer que M appartient au
cercle de diamètre [OA].
c) Montrer que M, O, N et A sont sur
un même cercle dont on précisera le
centre et le rayon.
Exercice 4.16 : Calculer, en
justifiant, la valeur approchée
par défaut de EF au cm près.
Exercice 4.07 : (C) est un cercle de centre O. A et M sont deux
points de (C) non diamétralement opposés. La perpendiculaire en
M à (AM) recoupe (C) en B.
a) Faire la figure et montrer que O est le milieu de [AB].
c) N est un autre point du cercle. Démontrer que le triangle ANB
est rectangle. Préciser en quel point.
Exercice 4.17 : Le triangle ROD est tel que RD = 8,5 cm ;
RO = 1,3 cm et DO = 8,4 cm.
a) Faire une figure en vraie grandeur. Ce triangle est-il
rectangle ? Justifier.
b) Placer un point N tel que RN = 7,7cm et DN = 3,6cm.
R, O, N et D sont-ils sur un même cercle ? Justifier.
Exercice 4.08 : R, I et O sont 3 points alignés. (C1) est le cercle de
diamètre [RI], (C2) le cercle de diamètre [IO]. Soit A un point de
(C1). La droite (AI) coupe (C2) en B.
Faire une figure puis montrer que (RA) // (BO).
Exercice 4.09 : Calculer AB et EF.
Justifier.
Exercice 4.18 : [AG] est un
diamètre du cercle circonscrit
au triangle ANG, [NE] est une
médiane et [NL] une hauteur
de ce triangle. On sait d'autre
Æ = 55°.
part que : AGN
Donner, en justifiant, la mesure
Æ ; ANE
Æ ; AEN
Æ;N
Æ
des angles : LÆ
NG ; GAN
EL .
Chapitre de 4e : Triangle rectangle et cercle circonscrit.
Référence : FE-4-004
Exercice 4.19 : [AB] est un segment de 6 cm de longueur et O est
son milieu. M et N sont deux points tels que OBM soit un triangle
équilatéral et B est le milieu de [ON].
a) Faire la figure en vraie grandeur.
b) Montrer que OMN est un triangle rectangle.
c) Calculer la valeur arrondie de MN au centième de cm.
d) Construire le cercle circonscrit aux triangles AMB et OMN.
On note L le deuxième point d'intersection de ces cercles.
e) Montrer que OMBL est un losange.
Date :
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Exercice 4.24 : (C) est un cercle de 2,5 cm de rayon.
Le segment [AB] est un diamètre de ce cercle.
D est un point de ce cercle tel que AD = 3 cm.
a) Construire la figure.
b) Démontrer que le triangle ABD est rectangle.
c) Calculer la longueur DB.
Exercice 4.25 : Soit un triangle ARE rectangle en R et un
triangle AZE rectangle en Z.
Soit T le milieu de [AE] et Y le milieu de [ZR].
Exercice 4.20 : On considère deux cercles (C1) et (C2) de centres
respectifs A et B de rayons à priori distincts.
Les points C et G sont leurs deux points d'intersection.
La droite (AC) recoupe le
cercle (C1) en H et le
cercle (C2) en E.
La droite (BC) recoupe
(C1) en D et (C2) en F.
a) Démontrer que les
droites (HG) et (GC) sont
perpendiculaires.
De même, quelle est la position relative des droites (GF) et (GC) ?
b) Démontrer que les points H, G et F sont alignés.
c) Quelle est la nature de HDF ? Justifier.
d) Montrer que D, E, F et H sont cocycliques, c'est-à-dire situés
sur un même cercle (dont on précisera un diamètre de ce cercle).
A quelle condition sur les cercles C1 et C2 le point G est-il le
centre de ce cercle ?
Indication : On pourra utiliser la nature du triangle CHF et les notions sur
les droites remarquables.
Exercice 4.21 : Soit un cercle de centre O et de diamètre [ST] tel
que ST = 7 cm. Soit U un point de ce cercle tel que SU = 3 cm.
1/ Faire une figure.
2/ Démontrer que STU est un triangle rectangle en U.
3/ Calculer TU. Arrondir à 0,1 cm près.
4/ En déduire la valeur arrondie au dixième de l’angle SÆ
TU .
Æ Justifier.
5/ En déduire une valeur approchée au dixième de SOU.
Exercice 4.22 : ABC est un triangle tel que AB = 4,2 cm ; AC = 5,6
cm et BC = 7 cm.
a) Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
b) Calculer son aire.
c) On sait que si R est le rayon du cercle circonscrit a un triangle
dont les côtés ont pour longueurs a, b, c données en cm, l'aire de
abc
ce triangle est égale à
.
4R
Avec cette formule, calculer le rayon du cercle circonscrit à ABC.
d) Pouvait-on prévoir ce résultat ? Justifier.
Exercice 4.23 : 1/ Tracer un triangle ABC. Marquer le point H pied
de la hauteur issue de A.
Marquer le point K pied de la hauteur issue de B.
Placer le point I milieu de [AB].
2/ Démontrer que IK = IH.
1) Montrer que les quatre points A, R, E et Z sont sur un
même cercle dont on précisera le diamètre.
2) Démontrer que (YT) est la médiatrice de [ZR].
Exercice 4.26 : 1) Tracer un triangle ABC tel que :
AB = 7 cm ; AÆ
BC = 36° ; BÆ
AC = 54°.
Placer le point D, symétrique du point B par rapport au
point C.
2) Montrer que (AC) est la médiatrice du segment [BD].
3) Tracer la médiatrice (∆) de [AD] qui coupe (AC) en I.
Démontrer que I est le centre du cercle circonscrit au
triangle ABD.
Exercice 4.27 : 1/ Construire un triangle ABC tel que :
AB = 7 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm.
Le cercle de diamètre [AC] coupe la droite (AB) en H et
la droite (BC) en G.
Les droites (AG) et (CH) se coupent en E.
2/ Démontrer que les droites (BE) et (AC) sont
perpendiculaires.
Exercice 4.28 : (C1) est un cercle de centre O et de
diamètre [AR].
(C2) est le cercle
de diamètre [OR].
Le point E
appartient au
cercle (C1). La
droite (ER) coupe
le cercle (C2) en F.
Démontrer que les
droites (AE) et
(OF) sont
parallèles.
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