close

Se connecter

Se connecter avec OpenID

IntégréTéléchargement
1°S
DS 7
19/03/14
Exercice 1 : sur 6 points
Soit f la fonction définie sur ℝ \ {3} par f (x) =
2 x ²  15 x  35
x3


On désigne par (C) sa représentation graphique dans un repère orthonormal O, i , j .
1) Calculer f ( x) et vérifier que f ( x) =
2 x ²  12 x  10
( x  3)²
2) Etudier le signe de f ( x) et dresser le tableau de variations de f sur ℝ \ {3}
3) Déterminer une équation de la tangente à (C) au point A d’abscisse 4.
4) Soit ∆ la droite d’équation y = 2 x – 9. Etudier la position relative de (C) et ∆
5) Existe-t-il des tangentes à C f parallèles à ∆ ?
Exercice 2 : sur 3 points
f est une fonction définie et dérivable sur [–4 ;4]. La courbe ci-contre représente la fonction f ‘ dérivée de f
1
( on précise que la courbe de f ’ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse  )
2
A l’aide du graphique et en justifiant vos réponses, répondre par
Vrai ou par Faux à chacune des affirmations suivantes :
1) f '(1)  0
1
2
2)
f admet un extremum en 
3)
f est décroissante sur l’intervalle [ 1 ; 4]
4) La tangente à la courbe de f au point d’abscisse 1
a pour coefficient directeur 2
Exercice 3 : sur 4 points
Un jeune agriculteur bio veut fabriquer une serre pour protéger ses cultures de tomates .Les informations
relatives à la forme et aux dimensions de la serre sont données ci-dessous.
La distance HK = x avec H milieu de [AB] est appelée la
flèche.
Le rayon de cintrage est noté R. On a R = OB = OK = OA
AB = 400 cm ; 100 cm  x  300 cm
AB = 400 cm ; 100 cm  x  300 cm
40000  x 2
2x
40000  x ²
a) En déduire que R =
2x
1) Montrer que OH =
2)
b) Déterminer, en justifiant, la valeur de x pour laquelle R est minimal.
Exercice 4 :sur 4 points
Une roue de loterie est partagée en deux secteurs verts, cinq secteurs blancs et n secteurs rouges ( n entier
non nul ).
Après avoir misé 10 €, un joueur fait tourner la roue devant un repère fixe.
Chaque secteur a la même probabilité de s’arrêter devant ce repère :



si le secteur repéré est vert, le joueur reçoit 40 €
si le secteur repéré est blanc, il récupère sa mise
si le secteur repéré est rouge, il perd sa mise
Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Partie A
Dans cette partie on suppose que n=3 c'est-à-dire que la roue a 3 secteurs rouges.
1) Déterminer la loi de probabilité de X
2) Calculer E(X), l’espérance mathématique de X .
Partie B
Dans cette partie, n est de nouveau un entier non nul quelconque
L’organisateur de la loterie rentre dans ses frais si E (X)  2 . Déterminer le nombre minimum de cases
rouges qu’il doit prévoir pour ne pas perdre d’argent.
Exercice 5 : sur 3 points
Un technicien est chargé de réparer des ordinateurs. Les composants à l’origine de la panne peuvent être
uniquement l’alimentation, la carte graphique ou le processeur. Une panne simultanée de deux ou trois
composants est possible. Le technicien établit le diagnostic à l’aide d’un triplet utilisant les initiales des
composants, surmontés d’une barre en cas de panne.
Par exemple, le triplet ( A ; CG ; P ) indique que la panne provient seulement du processeur.
Le tableau suivant donne le coût des composants à remplacer :
Composant
Alimentation
Carte graphique
Prix ( en euros )
80
160
Processeur
80
Il faut rajouter 25 € de main-d’œuvre ( forfait indépendant du nombre de composants à remplacer ) au coût
des composants pour obtenir le coût de la réparation.
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque ordinateur en panne, associe le coût de la réparation.
1) On considère le diagnostic ( A ; CG ; P ). Expliquer pourquoi le coût de sa réparation est de 345 €.
2)
On admet qu’il y a sept diagnostics équiprobables possibles :
( A ; CG ; P ) , ( A; CG ; P ) , ( A; CG ; P ) , ( A ; CG ; P ) , ( A ; CG ; P ) , ( A ; CG ; P ) , ( A ; CG ; P ) .
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Montrer que le coût moyen d’une réparation est d’environ 208€ .
c) Quel devrait être le prix du forfait arrondi à l’unité pour que le prix moyen d’une réparation soit de
210€ ?
CORRIGE
Exercice 1 :
1) f ( x ) 
(4 x  15)( x  3)  (2 x 2  15 x  35)(1) 4 x 2 12 x 15 x  45  2 x 2 15 x  35 2 x 2 12 x 10


( x  3) 2
( x  3) 2
( x  3) 2
2) Les racines du polynôme 2 x  12 x  10 sont 1 et 5. On a donc :
2
3) f (4)  7 et f '(4)  6 . La tangente à (C) au point A d’abscisse 4 a pour équation : y  f '(4)( x  4)  f (4)
On a : f '(4)( x  4)  f (4)  6( x  4)  7  6 x  31 donc la tangente a pour équation y   6 x  31
8
x3
Sur l’intervalle ] –  ; 3 [ , 8 > 0 et x  3  0 donc f ( x )  (2 x  9)  0 donc (C) est au dessous de ∆
4) On étudie le signe de f ( x )  (2 x  9) . On a f ( x)  (2 x  9) 
Sur l’intervalle ] 3 ; +  [ , 8 > 0 et x  3  0 donc f ( x )  (2 x  9)  0 donc (C) est au dessus de ∆
2 x 2  12 x  10
 2  2 x 2  12 x  10  2( x  3) 2  10  9
( x  3) 2
Cette dernière égalité étant impossible, l’équation f '( x )  2 n’admet pas de solution.
5) On résout l’équation f '( x )  2 .
f '( x)  2 
On en déduit qu’il n’existe pas de tangente à la courbe de f parallèle à ∆
y
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-8
-7
y=2x-9
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
-15
-16
-17
-18
-19
-20
-21
-22
-23
-24
-25
1
2
(C)
3
4
5
6
7
8
9
10x
Exercice 2 :
1. f '(1)  0
: FAUX on lit f’(1)=2
2. le signe de f ’ permet déduire la variation de f
–4
x
signe de f ’x)
Variation de f
D’où
f admet un extremum en 
-1/2
0 +
–
+4
1
VRAI
2
3. f est décroissante sur l’intervalle [ 1 ; 4] FAUX
4. La tangente à la courbe de f au point d’abscisse 1 a pour coefficient directeur 2
VRAI car f ‘(1 )=2
Exercice 3 :
1 . On a R= OK = 0H + x d’où R² = ( OH+x)² soit encore R² = OH²+2 OH ×x + x ²
D’autre part, le triangle OHR est rectangle en H d’où d’après le théorème de Pythagore :
R²= OH²+ HB² Or H est le milieu de [AB ] et AB= 400 donc HB= 200
R² = OH²+200²
On peut donc déduire que OH²+2 OH
d’où 2 OH
×x + x ² = OH²+200²
×x + x ² = 40 000
d’où 2 OH × x = 40000– x
² et finalement on a bien OH =
40000  x 2
2x
40000  x 2
40000  x ²
x
2x
2x
40000  x ²
[100 ; 300] par f ( x ) 
2x
2. Comme R = OH + x , on peut déduire que R =
3. On considère la fonction f définie pour x
Etudions les variations de f sur [100 ; 300]
2 x  2 x  (40000  x ²)  2 4 x ²  80000  2 x ² 2 x ²  80000 x ²  40000



(2 x)²
(2 x)²
4 x²
2 x²
Comme 2x² > 0 , f ‘ est du signe de x²– 40000 polynôme du second degré qui s’annule pour -200 et 200 et qui
f '( x) 
est positif à l’extérieur de ces racines
On a donc
D’après ce tableau de variation, f admet un minimum pour
200.
Le rayon R est minimal lorsque la longueur HK = 200 cm.
x=
x
100
–
signe de f(x)
Variation de f
Exercice 4 :
Partie A Il y a donc 10 secteurs équiprobables.Les gains possibles du joueur sont – 10, 0 et 30.
P(X = – 10) = p(rouge) =
3
10
P(X = 0) = p(blanc) =
5 1

10 2
P(X = 30) = p(vert) =
2 1

10 5
Loi de probabilité de X :
xi
pi
E ( X )  10 
– 10
0
30
3
10
1
2
1
5
3
1
1
 0   30   3
10
2
5
Partie B Cette fois le nombre total de secteurs équiprobables est 2 + 5 +n = n + 7
La loi de probabilité de X devient :
xi
pi
– 10
0
30
n
n7
5
n7
2
n7
200
0
300
+
n
5
2
10 n  60
 0
 30 

n7
n7
n7
n7
10 n  60
On veut avoir E(X) ≤ – 2 donc on résout l’inéquation
 2
n7
E ( X )  10 
Comme n est un entier naturel, n + 7 est positif et on peut multiplier les deux membres par n + 7.
D’où : 10 n  60  2n  14  8n  74  n 
74
37
n
8
4
37
 9, 25 : le nombre minimum de secteurs rouges nécessaire est donc 10
4
Exercice 5 :
1) Pour le diagnostic ( A ; CG ; P ), il faut changer les trois composants et ajouter le forfait main d’œuvre, ce qui
donne un coût de réparation de 345€ : 80+160+80+25 = 345
2) a) Pour chacun des diagnostics on calcule la valeur de X correspondante :
( A ; CG ; P ) : 80 + 25 = 105
( A; CG ; P ) : 160 + 25 = 185
( A; CG ; P ) : 160 +80 +25 = 265
( A ; CG ; P ) : 345
( A ; CG ; P ) : 80 + 25 = 105
( A ; CG ; P ) : 80 + 80 + 25 =185
( A ; CG ; P ) : 80 +160 + 25 = 265
Chaque diagnostic a la probabilité
1
puisque le texte les dit équiprobables.
7
X prend les valeurs 105, 185, 265 et 345
xi
105
pi
2
7
185
265
345
2
7
2
7
1
7
b) Le coût moyen d’une réparation est l’espérance mathématique de X :
E ( X )  105 
2
2
2
1 1455
 185   265   345  
 208
7
7
7
7
7
c) Soit x ce qu’il faut rajouter au forfait main d’œuvre pour avoir un coût moyen de 210€.
La nouvelle loi de probabilité est :
105 + x
185 + x
265 + x
345 + x
xi
pi
2
2
2
1
7
E( X ) 
1455  7 x
7
7
7
7
1455  7 x
1470  1455 15
 210  x 

 2,1
7
7
7
Ou bien autre méthode (plus rapide)
Pour avoir un coût moyen de 210€, il faut augmenter la moyenne d’environ 2€ et pour cela, il suffit d’ augmenter
chaque valeur de 2€ : il faut donc prendre un forfait de 27€
Auteur
Document
Catégorie
Science
Affichages
145
Taille du fichier
727 KB
Étiquettes
1/--Pages
signaler